Что такое относительная ошибка определения - Oshibki.top - большая энциклопедия ошибок и их решений

Погре́шность измере́ния — оценка отклонения величины измеренного значения величины от её истинного значения. Погрешность измерения является характеристикой (мерой) точности измерения.

Поскольку выяснить с абсолютной точностью истинное значение любой величины невозможно, то невозможно и указать величину отклонения измеренного значения от истинного. (Это отклонение принято называть ошибкой измерения. В ряде источников, например, в БСЭ, термины ошибка измерения и погрешность измерения используются как синонимы.) Возможно лишь оценить величину этого отклонения, например, при помощи статистических методов. При этом за истинное значение принимается среднестатистическое значение, полученное при статистической обработке результатов серии измерений. Это полученное значение не является точным, а лишь наиболее вероятным. Поэтому в измерениях необходимо указывать, какова их точность. Для этого вместе с полученным результатом указывается погрешность измерений. Например, запись T=2.8±0.1 c. означает, что истинное значение величины T лежит в интервале от 2.7 с. до 2.9 с. некоторой оговоренной вероятностью (см. доверительный интервал, доверительная вероятность, стандартная ошибка).

В 2006 году на международном уровне был принят новый документ, диктующий условия проведения измерений и установивший новые правила сличения государственных эталонов. Понятие «погрешность» стало устаревать, вместо него было введено понятие «неопределенность измерений».

Содержание

1 Определение погрешности
2 Классификация погрешностей
- 2.1 По форме представления
- 2.2 По причине возникновения
- 2.3 По характеру проявления
- 2.4 По способу измерения
3 См. также
4 Литература

Определение погрешности

В зависимости от характеристик измеряемой величины для определения погрешности измерений используют различные методы.

Метод Корнфельда, заключается в выборе доверительного интервала в пределах от минимального до максимального результата измерений, и погрешность как половина разности между максимальным и минимальным результатом измерения:

$Delta x=frac{x_{max}-x_{min}}{2}$

Средняя квадратическая погрешность:

$S =left. sqrt{sum_{i=1}^{n}frac{(x_i-x)^2}{n-1}} right.$

Средняя квадратическая погрешность среднего арифметического:

$S _x= frac{S} {sqrt{n}} = left. sqrt{sum_{i=1}^{n}frac{(x_i-x)^2}{n(n-1)}} right.$

Классификация погрешностей

По форме представления

Абсолютная погрешность — ΔX является оценкой абсолютной ошибки измерения. Величина этой погрешности зависит от способа её вычисления, который, в свою очередь, определяется распределением случайной величины X_meas. При этом равенство:

ΔX = | X_true − X_meas | ,

где X_true — истинное значение, а X_meas — измеренное значение, должно выполняться с некоторой вероятностью близкой к 1. Если случайная величина X_meas распределена по нормальному закону, то, обычно, за абсолютную погрешность принимают её среднеквадратичное отклонение. Абсолютная погрешность измеряется в тех же единицах измерения, что и сама величина.

Относительная погрешность — отношение абсолютной погрешности к тому значению, которое принимается за истинное:

$delta_x =frac{ Delta x}{X}$ .

Относительная погрешность является безразмерной величиной, либо измеряется в процентах.

Приведенная погрешность — относительная погрешность, выраженная отношением абсолютной погрешности средства измерений к условно принятому значению величины, постоянному во всем диапазоне измерений или в части диапазона. Вычисляется по формуле

$delta_x =frac{ Delta x}{X_n}$ ,

где X_n — нормирующее значение, которое зависит от типа шкалы измерительного прибора и определяется по его градуировке:

— если шкала прибора односторонняя, т.е. нижний предел измерений равен нулю, то X_n определяется равным верхнему пределу измерений;
— если шкала прибора двухсторонняя, то нормирующее значение равно ширине диапазона измерений прибора.

Приведенная погрешность — безразмерная величина (может измеряться в процентах).

По причине возникновения

Инструментальные / приборные погрешности — погрешности, которые определяются погрешностями применяемых средств измерений и вызываются несовершенством принципа действия, неточностью градуировки шкалы, ненаглядностью прибора.
Методические погрешности — погрешности, обусловленные несовершенством метода, а также упрощениями, положенными в основу методики.
Субъективные / операторные / личные погрешности — погрешности, обусловленные степенью внимательности, сосредоточенности, подготовленности и другими качествами оператора.

В технике применяют приборы для измерения лишь с определенной заранее заданной точностью – основной погрешностью, допускаемой нормали в нормальных условиях эксплуатации для данного прибора.

Если прибор работает в условиях, отличных от нормальных, то возникает дополнительная погрешность, увеличивающая общую погрешность прибора. К дополнительным погрешностям относятся: температурная, вызванная отклонением температуры окружающей среды от нормальной, установочная, обусловленная отклонением положения прибора от нормального рабочего положения, и т.п. За нормальную температуру окружающего воздуха принимают 20°С, за нормальное атмосферное давление 01,325 кПа.

Обобщенной характеристикой средств измерения является класс точности, определяемый предельными значениями допускаемых основной и дополнительной погрешностей, а также другими параметрами, влияющими на точность средств измерения; значение параметров установлено стандартами на отдельные виды средств измерений. Класс точности средств измерений характеризует их точностные свойства, но не является непосредственным показателем точности измерений, выполняемых с помощью этих средств, так как точность зависит также от метода измерений и условий их выполнения. Измерительным приборам, пределы допускаемой основной погрешности которых заданы в виде приведенных основных (относительных) погрешностей, присваивают классы точности, выбираемые из ряда следующих чисел: (1; 1,5; 2,0; 2,5; 3,0; 4,0; 5,0; 6,0)*10n, где n = 1; 0; -1; -2 и т.д.

По характеру проявления

Случайная погрешность — погрешность, меняющаяся (по величине и по знаку) от измерения к измерению. Случайные погрешности могут быть связаны с несовершенством приборов (трение в механических приборах и т.п.), тряской в городских условиях, с несовершенством объекта измерений (например, при измерении диаметра тонкой проволоки, которая может иметь не совсем круглое сечение в результате несовершенства процесса изготовления), с особенностями самой измеряемой величины (например при измерении количества элементарных частиц, проходящих в минуту через счётчик Гейгера).
Систематическая погрешность — погрешность, изменяющаяся во времени по определенному закону (частным случаем является постоянная погрешность, не изменяющаяся с течением времени). Систематические погрешности могут быть связаны с ошибками приборов (неправильная шкала, калибровка и т.п.), неучтёнными экспериментатором.
Прогрессирующая (дрейфовая) погрешность — непредсказуемая погрешность, медленно меняющаяся во времени. Она представляет собой нестационарный случайный процесс.
Грубая погрешность (промах) — погрешность, возникшая вследствие недосмотра экспериментатора или неисправности аппаратуры (например, если экспериментатор неправильно прочёл номер деления на шкале прибора, если произошло замыкание в электрической цепи).

По способу измерения

Погрешность прямых измерений
Погрешность косвенных измерений — погрешность вычисляемой (не измеряемой непосредственно) величины:

Если F = F(x₁,x₂…x_n), где x_i — непосредственно измеряемые независимые величины, имеющие погрешность Δx_i, тогда:

$Delta F = sqrt{sum_{i=1}^n left(Delta x_i frac{partial F}{partial x_i}right)^2}$

См. также

Измерение физических величин
Класс точности
Метрология
Система автоматизированного сбора данных со счетчиков по радиоканалу
Методы электроаналитической химии

Литература

Назаров Н. Г. Метрология. Основные понятия и математические модели. М.: Высшая школа, 2002. 348 с.

Лабораторные занятия по физике. Учебное пособие/Гольдин Л. Л., Игошин Ф. Ф., Козел С. М. и др.; под ред. Гольдина Л. Л. — М.: Наука. Главная редакция физико-математичекой литературы, 1983. — 704 с.

Wikimedia Foundation.
2010.

Абсолютная и относительная погрешность

4.2

Средняя оценка: 4.2

Всего получено оценок: 2109.

4.2

Средняя оценка: 4.2

Всего получено оценок: 2109.

Абсолютную и относительную погрешность используют для оценки неточности в производимых расчетах с высокой сложностью. Также они используются в различных измерениях и для округления результатов вычислений. Рассмотрим, как определить абсолютную и относительную погрешность.

Опыт работы учителем математики — более 33 лет.

Абсолютная погрешность

Абсолютной погрешностью числа называют разницу между этим числом и его точным значением.
Рассмотрим пример: в школе учится 374 ученика. Если округлить это число до 400, то абсолютная погрешность измерения равна 400-374=26.

Для подсчета абсолютной погрешности необходимо из большего числа вычитать меньшее.

Существует формула абсолютной погрешности. Обозначим точное число буквой А, а буквой а – приближение к точному числу. Приближенное число – это число, которое незначительно отличается от точного и обычно заменяет его в вычислениях. Тогда формула будет выглядеть следующим образом:

Δа=А-а. Как найти абсолютную погрешность по формуле, мы рассмотрели выше.

На практике абсолютной погрешности недостаточно для точной оценки измерения. Редко когда можно точно знать значение измеряемой величины, чтобы рассчитать абсолютную погрешность. Измеряя книгу в 20 см длиной и допустив погрешность в 1 см, можно считать измерение с большой ошибкой. Но если погрешность в 1 см была допущена при измерении стены в 20 метров, это измерение можно считать максимально точным. Поэтому в практике более важное значение имеет определение относительной погрешности измерения.

Записывают абсолютную погрешность числа, используя знак ±. Например, длина рулона обоев составляет 30 м ± 3 см. Границу абсолютной погрешности называют предельной абсолютной погрешностью.

Относительная погрешность

Относительной погрешностью называют отношение абсолютной погрешности числа к самому этому числу. Чтобы рассчитать относительную погрешность в примере с учениками, разделим 26 на 374.

Получим число 0,0695, переведем в проценты и получим 7 %. Относительную погрешность обозначают процентами, потому что это безразмерная величина. Относительная погрешность – это точная оценка ошибки измерений. Если взять абсолютную погрешность в 1 см при измерении длины отрезков 10 см и 10 м, то относительные погрешности будут соответственно равны 10 % и 0,1 %. Для отрезка длиной в 10 см погрешность в 1 см очень велика, это ошибка в 10 %. А для десятиметрового отрезка 1 см не имеет значения, всего 0,1 %.

Различают систематические и случайные погрешности. Систематической называют ту погрешность, которая остается неизменной при повторных измерениях. Случайная погрешность возникает в результате воздействия на процесс измерения внешних факторов и может изменять свое значение.

Правила подсчета погрешностей

Для номинальной оценки погрешностей существует несколько правил:

при сложении и вычитании чисел необходимо складывать их абсолютные погрешности;
при делении и умножении чисел требуется сложить относительные погрешности;
при возведении в степень относительную погрешность умножают на показатель степени.

Приближенные и точные числа записываются при помощи десятичных дробей. Берется только среднее значение, поскольку точное может быть бесконечно длинным. Чтобы понять, как записывать эти числа, необходимо узнать о верных и сомнительных цифрах.

Верными называются такие цифры, разряд которых превосходит абсолютную погрешность числа. Если же разряд цифры меньше абсолютной погрешности, она называется сомнительной. Например, для дроби 3,6714 с погрешностью 0,002 верными будут цифры 3,6,7, а сомнительными – 1 и 4. В записи приближенного числа оставляют только верные цифры. Дробь в этом случае будет выглядеть таким образом – 3,67.

Что мы узнали?

Абсолютные и относительные погрешности используются для оценки точности измерений. Абсолютной погрешностью называют разницу между точным и приближенным числом. Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности числа к самому числу. На практике используют относительную погрешность, так как она является более точной.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

Светлана Лобанова-Асямолова

10/10
Валерий Соломин

10/10
Анастасия Юшкова

10/10
Ксюша Пономарева

7/10
Паша Кривов

10/10
Евгений Холопик

9/10
Guzel Murtazina

10/10
Максим Аполонов

10/10
Olga Bimbirene

9/10
Света Колодий

10/10

Оценка статьи

4.2

Средняя оценка: 4.2

Всего получено оценок: 2109.

А какая ваша оценка?

Статья обновлена 10.07.2022

Что такое погрешность измерения

Любой расчет состоит из истинного и вычисляемого значения. При этом всегда должны учитываться значения ошибки или погрешности. Погрешность — это расхождение между истинным значением и вычисляемым. В маркетинге выделяют следующие виды погрешностей.

Математическая погрешность. Она описывается алгебраической формулой и бывает абсолютной, относительной и приведенной. Абсолютная погрешность измерения — это разница между вычисляемым и истинным значением. Относительная погрешность вычисляется в процентном соотношении истинного значения и полученного. Вычисление погрешности приведенной схоже с относительной, указывается она также в процентах, но дает разницу между нормирующей шкалой и полученными данными, то есть между эталонными и полученными значениями.
Оценочная погрешность. В маркетинге она бывает случайной и систематической. Случайная погрешность возникает из-за любых факторов, которые случайным образом влияют на измерение переменной в выборке. Систематическая погрешность вызывается факторами, которые систематически влияют на измерение переменной в выборке.

Математическая погрешность: формула для каждого типа

Если определение погрешности можно провести точным путем, она считается математической. Зачем нужно вычисление этого значения в маркетинге?

Погрешности возникают настолько часто, что популярной практикой в исследованиях является включение значения погрешности в окончательные результаты. Для этого используются формулы. Математическая погрешность — это значение, которое отражает разницу между выборкой и фактическим результатом. Если при расчетах учитывалась погрешность, в тексте исследования указывается что-то вроде: «Абсолютная погрешность для этих данных составляет 3,25%». Погрешность можно вычислить с любыми цифрами: количество человек, участвующих в опросе, погрешность суммы, затраченной на маркетинговый бюджет, и так далее.

Формулы погрешностей вычисляются следующим образом.

Абсолютная погрешность измерений: формула

Формула дает разницу между измеренным и реальным значением.

Формула абсолютной погрешности

Относительная погрешность: формула

Формула использует значение абсолютной погрешности и вычисляется в процентах по отношению к фактическому значению.

Формула относительной погрешности

Приведенная погрешность: формула

Формула также использует значение абсолютной погрешности. В чем измеряется приведенная погрешность? Тоже в процентах, но в качестве «эталона» используется не реальное значение, а единица измерения любой нормирующей шкалы. Например, для обычной линейки это значение равно 1 мм.

Формула приведенной погрешности

Классификация оценочной погрешности

Определение погрешности в оценках — это всегда методическая погрешность, то есть допустимое значение ошибки, основанное на методах проведения исследования. Погрешность метода вызывает два типа погрешностей — случайные и систематические. Таблица погрешностей в графической форме покажет все возможные типы.

Классификация оценочной погрешности

Что такое случайная погрешность

Случайная погрешность бывает статической и динамической. Динамическая погрешность возникает, когда мы имеем дело с меняющимися значениями — например, количество человек в выборке при маркетинговом исследовании. Статическая погрешность описывает ошибки при вычислении неизменных величин — вроде количества вопросов в вопроснике. Все они относятся к случайным погрешностям.

Типичный пример возникновения случайной погрешности — настроение участников маркетингового опроса. Как известно, эмоциональный настрой человека всегда влияет на его производительность. В ходе тестирования одни люди могут быть в хорошем расположении духа, а другие — в «миноре». Если настроение влияет на их ответы по заданному критерию выборки, это может искусственно завышать или занижать наблюдаемые оценки. Например, в случае с истинным значением 1 случайная погрешность может дать как -0,8, так и +0,5 к этому числу. Очень часто это случается при оценке времени ответа, например.

Случайная погрешность добавляет изменчивости данным, но не оказывает постоянного влияния на всю выборку. Вместо этого она произвольно изменяет измеряемые значения в диапазоне. В маркетинговой практике считается, что все случайные погрешности в распределении перекрывают друг друга и практически не влияют на конечный результат. Поэтому случайная погрешность считается «шумом» и в расчет не принимается. Эту погрешность нельзя устранить совсем, но можно уменьшить, просто увеличив размер выборки.

Что такое систематическая погрешность

Систематическая погрешность существует в результатах исследования, если эти результаты показывают устойчивую тенденцию к отклонению от истинных значений. Иными словами, если полученные цифры постоянно выше или ниже расчетных, речь идет о том, что в данных имеется систематическая погрешность.

В маркетинговых исследованиях есть два основных типа систематической погрешности: погрешность выборки и погрешность измерения.

Погрешность выборки

Погрешность выборки возникает, когда выборка, используемая в исследовании, не репрезентативна для всей совокупности данных. Типы такой погрешности включают погрешность структуры, погрешность аудитории и погрешность отбора.

Погрешность структуры

Погрешность структуры возникает из-за использования неполной или неточной основы для выборки. Распространенным источником такой погрешности в рамках маркетинговых исследований является проведение какого-либо опроса по телефону на основе существующего телефонного справочника или базы данных абонентов. Многие данные там указаны неполно или неточно — например, если люди недавно переехали или изменили свой номер телефона. Также такие данные часто указывают неполную или неверную демографию.

Если в качестве основы для исследования взят телефонный справочник, оно подвержено погрешности структуры, так как не учитывает всех возможных респондентов.

Погрешность аудитории

Погрешность аудитории возникает, если исследователь не знает, как определить аудиторию для исследования. Пример — оценка результатов исследования, проведенного среди клиентов крупного банка. Доля ответов на анкету составила чуть менее 1%. Анализ профессий всех опрошенных показал, что процент пенсионеров среди них в 20 раз выше, чем в целом по городу. Если эта группа значительно различается по интересующим переменным, то результаты будут неверными из-за погрешности аудитории.

Погрешность отбора

Даже если маркетологи правильно определили структуру и аудиторию, они не застрахованы от погрешности отбора. Она возникает, когда процедуры отбора являются неполными, неправильными или не соблюдаются должным образом. Например, интервьюеры при полевом исследовании могут избегать людей, которые живут в муниципальных домах. Потому что, по их мнению, жители вряд ли согласятся пройти такой опрос. Если жители муниципальных домов отличаются от тех, кто проживает в домах бизнес-класса, в результаты опроса будет внесена погрешность отбора.

Как минимизировать погрешность выборки

Знайте свою аудиторию.
Знайте, кто покупает ваш продукт, использует его, работает с вами и так далее. Имея базовую социально-экономическую информацию, можно составить стабильную выборку целевой аудитории. Маркетинговые исследования часто касаются одной конкретной группы населения — например, пользователей Facebook или молодых мам.
Разделите аудиторию на группы.
Вместо случайной выборки разбейте аудиторию на группы в соответствии с их численностью в общей совокупности данных. Например, если люди с определенной демографией составляют 35% населения, убедитесь, что 35% респондентов исследования отвечают этому условию.
Увеличьте размер выборки.
Больший размер выборки приводит к более точному результату.

Погрешность измерения

Погрешность измерения представляет собой серьезную угрозу точности исследования. Она возникает, когда существует разница между искомой информацией — то есть истинным значением, и информацией, фактически полученной в процессе измерения. К таким погрешностям приводят различные недостатки процесса исследования. Погрешность измерения, в основном, вызывается человеческим фактором — например, формулировкой вопросника, ошибками ввода данных и необъективными выводами.

К погрешностям измерения приводят следующие виды ошибок.

Ошибка цели

Ошибка цели возникает, когда существует несоответствие между информацией, фактически необходимой для решения проблемы, и данными , которые собирает исследование. Например, компания Kellogg впустую потратила миллионы на разработку завтраков для снижения уровня холестерина. Реальный вопрос, который нужно было бы задать в исследовании, заключался в том, купят ли люди овсяные хлопья для решения своей проблемы. Ответ «Нет» обошелся бы компании дешевле.

Предвзятость ответов

Некоторые люди склонны отвечать на конкретный вопрос определенным образом. Тогда возникает предвзятость ответа. Предвзятость ответа может быть результатом умышленной фальсификации или неосознанного искажения фактов.

Умышленная фальсификация происходит, когда респонденты целенаправленно дают неверные ответы на вопросы. Есть много причин, по которым люди могут сознательно искажать информацию. Например, они хотят скрыть или хотят казаться лучше, чем есть на самом деле.

Бессознательное искажение информации происходит, когда респондент пытается быть правдивым, но дает неточный ответ. Этот тип предвзятости может возникать из-за формата вопроса, его содержания или по другим причинам.

Предвзятость интервьюера

Интервьюер оказывает влияние на респондента — сознательно или бессознательно. Одежда, возраст, пол, выражение лица, язык тела или тон голоса могут повлиять на ответы некоторых или всех респондентов.

Ошибка обработки

Примеры включают наводящие вопросы или элементы дизайна анкеты, которые затрудняют запись ответов или приводят к ошибкам в них.

Ошибка ввода

Это ошибки, возникающие при вводе информации. Например, документ может быть отсканирован неправильно, и его данные по ошибке перенесутся неверно. Или люди, заполняющие опросы на смартфоне или ноутбуке, могут нажимать не те клавиши.

Виды проводимых маркетинговых исследований различны, поэтому универсальных рецептов не существует. Мы дадим несколько общих советов, используемых для минимизации систематических погрешностей разного типа.

Как минимизировать погрешность измерения

Предварительно протестируйте.
Погрешностей обработки и предвзятости можно избежать, если проводить предварительные тесты вопросника до начала основных интервью.
Проводите выборку случайным образом.
Чтобы устранить предвзятость, при выборке респондентов можно включать каждого четвертого человека из общего списка.
Тренируйте команду интервьюеров и наблюдателей.
Отбор и обучение тех, кто проводит исследования, должен быть тщательным. Особое внимание нужно уделять соблюдению инструкций в ходе каждого исследования.
Всегда выполняйте проверку сделанных записей.
Чтобы исключить ошибки ввода, все данные, вводимые для компьютерного анализа, должны быть перепроверены как минимум дважды.

Мир без ошибок не может существовать. Но понимание факторов, влияющих на маркетинговые исследования и измеряемые погрешности, имеет важное значение для сбора качественных данных.

Абсолютная и относительная погрешности (ошибки).

Пусть некоторая
величина x
измерена n
раз. В результате получен ряд значений
этой величины: x₁,
x₂,
x₃,
…, x_n

Величиной, наиболее
близкой к действительному значению,
является среднее арифметическое этих
результатов:

Отсюда следует,
что каждое физическое измерение должно
быть повторено несколько раз.

Разность между
средним значением
измеряемой
величины и значением отдельного измерения
называется абсолютной
погрешностью отдельного измерения:

(13)

Абсолютная
погрешность может быть как положительной,
так и отрицательной и измеряется в тех
же единицах, что и измеряемая величина.

Средняя абсолютная
ошибка результата — это среднее
арифметическое значений абсолютных
погрешностей отдельных измерений,
взятых по абсолютной величине (модулю):

(14)

Отношения

называются относительными погрешностями
(ошибками) отдельных измерений.

Отношение средней
абсолютной погрешности результата

к среднему арифметическому значению

измеряемой величины называют относительной
ошибкой результата и выражают в процентах:

Относительная
ошибка характеризует точность измерения.

Законы распределения случайных величин.

Результат измерения
физической величины зависит от многих
факторов, влияние которых заранее учесть
невозможно. Поэтому значения, полученные
в результате прямых измерений какого
— либо параметра, являются случайными,
обычно не совпадающие между собой.
Следовательно, случайные
величины —
это такие величины, которые в зависимости
от обстоятельств могут принимать те
или иные значения. Если случайная
величина принимает только определенные
числовые значения, то она называется
дискретной.

Например,
количество заболеваний в данном регионе
за год, оценка, полученная студентом на
экзамене, энергия электрона в атоме и
т.д.

Непрерывная
случайная величина принимает любые
значения в данном интервале.

Например: температура
тела человека, мгновенные скорости
теплового движения молекул, содержание
кислорода в воздухе и т.д.

Под событием
понимается всякий результат или исход
испытания. В теории вероятностей
рассматриваются события, которые при
выполнение некоторых условий могут
произойти, а могут не произойти. Такие
события называются
случайными.
Например, событие, состоящее в появлении
цифры 1 при выполнении условия — бросания
игральной кости, может произойти, а
может не произойти.

Если событие
неизбежно происходит в результате
каждого испытания, то оно называется
достоверным.
Событие называется невозможным,
если оно вообще не происходит ни при
каких условиях.

Два события,
одновременное появление которых
невозможно, называются несовместными.

Пусть случайное
событие А в серии из n
независимых испытаний произошло m
раз, тогда отношение:

называется
относительной частотой события А. Для
каждой относительной частоты выполняется
неравенство:

При небольшом
числе опытов относительная частота
событий в значительной мере имеет
случайный характер и может заметно
изменяться от одной группы опытов к
другой. Однако при увеличении числа
опытов частота событий все более теряет
свой случайный характер и приближается
к некоторому постоянному положительному
числу, которое является количественной
мерой возможности реализации случайного
события А. Предел, к которому стремится
относительная частота событий при
неограниченном увеличении числа
испытаний, называется статистической
вероятностью события:

Например, при
многократном бросании монеты частота
выпадения герба будет лишь незначительно
отличаться от ½. Для достоверного события
вероятность Р(А) равна единице. Если
Р=0, то событие невозможно.

Математическим
ожиданием
дискретной случайной величины называется
сумма произведений всех ее возможных
значений х_i
на вероятность этих значений р_i:

Статистическим
аналогом математического ожидания
является среднее арифметическое значений
:

где m_i
— число дискретных случайных величин,
имеющих значение х_i.

Для непрерывной
случайной величины математическим
ожиданием служит интеграл:

где р(х) — плотность
вероятности.

Отдельные значения
случайной величины группируются около
математического ожидания. Отклонение
случайной величины от ее математического
ожидания (среднего значения) характеризуется
дисперсией,
которая для дискретной случайной
величины определяется формулой:

(15)

(16)

Дисперсия имеет
размерность случайной величины. Для
того, чтобы оценивать рассеяние
(отклонение) случайной величины в
единицах той же размерности, введено
понятие среднего
квадратичного отклонения
σ(Х), которое
равно корню квадратному из дисперсии:

(17)

Вместо среднего
квадратичного отклонения иногда
используется термин «стандартное
отклонение».

Всякое отношение,
устанавливающее связь между всеми
возможными значениями случайной величины
и соответствующими им вероятностями,
называется законом
распределения случайной величины.
Формы задания закона распределения
могут быть разными:

а) ряд распределения
(для дискретных величин);

б) функция
распределения;

в) кривая распределения
(для непрерывных величин).

Существует
относительно много законов распределения
случайных величин.

Нормальный
закон распределения случайных
величин (закон
Гаусса).
Случайная величина

распределена по
нормальному закону, если ее плотность
вероятности f(x)
определяется формулой:

(18),

где <x>
— математическое ожидание (среднее
значение) случайной величины <x>
= M
(X);

—
среднее квадратичное отклонение;

—
основание натурального логарифма
(неперово число);

f
(x)
– плотность вероятности (функция
распределения вероятностей).

Многие случайные
величины (в том числе все случайные
погрешности) подчиняются нормальному
закону распределения (закону Гаусса).
Для этого распределения наиболее
вероятным значением
измеряемой
величины
является
её среднее
арифметическое
значение.

График нормального
закона распределения изображен на
рисунке (колоколообразная кривая).

Кривая симметрична
относительно прямой х=<x>=α,
следовательно, отклонения случайной
величины вправо и влево от <x>=α
равновероятны. При х=<x>±
кривая асимптотически приближается к
оси абсцисс. Если х=<x>,
то функция распределения вероятностей
f(x)
максимальна и принимает вид:

(19)

Таким образом,
максимальное значение функции f_max(x)
зависит от величины среднего квадратичного
отклонения. На рисунке изображены 3
кривые распределения. Для кривых 1 и 2
<x>
= α = 0 соответствующие значения среднего
квадратичного отклонения различны, при
этом ₂>₁.
(При увеличении 
кривая распределения становится более
пологой, а при уменьшении 
– вытягивается вверх). Для кривой 3 <x>
= α ≠ 0 и ₃
= ₂.

Закон
распределения
молекул в газах по скоростям называется
распределением
Максвелла.
Функция плотности вероятности попадания
скоростей молекул в определенный
интервал

теоретически была определена в 1860 году
английским физиком Максвеллом

. На рисунке
распределение Максвелла представлено
графически. Распределение движется
вправо или влево в зависимости от
температуры газа (на рисунке Т₁
< Т₂).
Закон распределения Максвелла определяется
формулой:

(20),

где m_о
– масса молекулы, k
– постоянная Больцмана, Т – абсолютная
температура газа,
—
скорость молекулы.

Распределение
концентрации молекул газа в атмосфере
Земли (т.е.
в силовом поле) в зависимости от высоты
было дано австрийским физиком Больцманом
и называется
распределением
Больцмана:

(21)

Где n(h)
– концентрация молекул газа на высоте
h,
n₀
– концентрация у поверхности Земли, g
– ускорение свободного падения, m
– масса молекулы.

Распределение
Больцмана.

Совокупность всех
значений случайной величины называется
простым
статистическим рядом.
Так как простой статистический ряд
оказывается большим, то его преобразуют
в вариационный
статистический
ряд или интервальный
статистический ряд. По интервальному

статистическому ряду для оценки вида
функции распределения вероятностей по
экспериментальным данным строят
гистограмму
– столбчатую
диаграмму. (Гистограмма – от греческих
слов “histos”–
столб и “gramma”–
запись).

Гистограмма
распределения Больцмана.

Для построения
гистограммы интервал, содержащий
полученные значения случайной величины
делят на несколько интервалов x_i
одинаковой ширины. Для каждого интервала
подсчитывают число m_i
значений случайной величины, попавших
в этот интервал. После этого вычисляют
плотность частоты случайной величины

для каждого интервала x_i
и среднее значение случайной величины
<x_i
> в каждом интервале.

Затем по оси абсцисс
откладывают интервалы x_i,
являющиеся основаниями прямоугольников,
высота которых равна
(или
высотой

– плотностью относительной частоты
).

Расчетами показано,
что вероятность попадания нормально
распределенной случайной величины в
интервале значений от <x>–
до <x>+
в среднем равна 68%. В границах вдвое
более широких (<x>–2;
<x>+2)
размещается в среднем 95% всех значений
измерений, а в интервале (<x>–3;<x>+3)
– уже 99,7%. Таким образом, вероятность
того, что отклонение значений нормально
распределенной случайной величины
превысит 3
(
– среднее квадратичное отклонение)
чрезвычайно мала (~0,003). Такое событие
можно считать практически невозможным.
Поэтому границы <x>–3
и <x>+3
принимаются за границы практически
возможных значений нормально распределенной
случайной величины («правило трех
сигм»).

Если число измерений
(объем выборки) невелико (n<30),
дисперсия вычисляется по формуле:

(22)

Уточненное среднее
квадратичное отклонение отдельного
измерения вычисляется по формуле:

(23)

Напомним, что для
эмпирического распределения по выборке
аналогом математического ожидания
является среднее арифметическое значение
<x>
измеряемой величины.

Чтобы дать
представление о точности и надежности
оценки измеряемой величины, используют
понятия доверительного интервала и
доверительной вероятности.

Доверительным
интервалом
называется интервал (<x>–x,
<x>+x),
в который по определению попадает с
заданной вероятностью действительное
(истинное) значение измеряемой величины.
Доверительный интервал характеризует
точность полученного результата: чем
уже доверительный интервал, тем меньше
погрешность.

Доверительной
вероятностью
(надежностью)

результата серии измерений называется
вероятность того, что истинное значение
измеряемой величины попадает в данный
доверительный интервал (<x>±x).
Чем больше величина доверительного
интервала, т.е. чем больше x,
тем с большей надежностью величина <x>
попадает в этот интервал. Надежность 
выбирается самим исследователем
самостоятельно, например, =0,95;
0,98. В медицинских и биологических
исследованиях, как правило, доверительную
вероятность (надежность) принимают
равной 0,95.

Если величина х
подчиняется нормальному закону
распределения Гаусса, а <x>
и <>
оцениваются по выборке (числу измерений)
и если объем выборки невелик (n<30),
то интервал (<x>
– t__,_n<>,
<x>
+ t__,_n<>)
будет доверительным интервалом для
известного параметра х с доверительной
вероятностью .

Коэффициент t__,_n
называется коэффициентом
Стьюдента
(этот коэффициент был предложен в 1908 г.
английским математиком и химиком В.С.
Госсетом, публиковавшим свои работы
под псевдонимом «Стьюдент» – студент).

Значении коэффициента
Стьюдента t__,_n
зависит от доверительной вероятности

и числа измерений n
(объема выборки). Некоторые значения
коэффициента Стьюдента приведены в
таблице 1.

Таблица 1

n	
0,6	0,7	0,8	0,9	0,95	0,98	0,99
2	1,38	2,0	3,1	6,3	12,7	31,8	63,7
3	1,06	1,3	1,9	2,9	4,3	7,0	9,9
4	0,98	1,3	1,6	2,4	3,2	4,5	5,8
5	0,94	1,2	1,5	2,1	2,8	3,7	4,6
6	0,92	1,2	1,5	2,0	2,6	3,4	4,0
7	0,90	1,1	1,4	1,9	2,4	3,1	3,7
8	0,90	1,1	1,4	1,9	2,4	3,0	3,5
9	0,90	1,1	1,4	1,9	2,3	2,9	3,4
10	0,88	1,1	1,4	1,9	2,3	2,8	3,3

В таблице 1 в верхней
строке заданы значения доверительной
вероятности 
от 0,6 до 0,99, в левом столбце – значение
n.
Коэффициент Стьюдента следует искать
на пересечении соответствующих строки
и столбца.

Окончательный
результат измерений записывается в
виде:

(25)

Где

– полуширина доверительного интервала.

Результат серии
измерений оценивается относительной
погрешностью:

(26)

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Напечатано::	Гость
Дата:	вторник, 31 января 2023, 17:26

Описание

1. Понятие о погрешности измерения.

2. Классификация погрешностей измерения.

3. Систематические погрешности

1. Понятие о погрешности измерения

Всякий процесс измерения независимо от условий, в которых его проводят, сопряжен с погрешностями, которые искажают представление о действительном значении измеряемой величины.

Погрешностью называют отличие между объективно существующим истинным значением физической величины и найденным в результате измерения действительным значением физической величины.

Истинное значение физической величины идеальным образом отражает соответствующее свойство объекта. Практически получено быть не может.

Действительное значение физической величины находится как результат измерения и приближается к истинному значению настолько, что для данной цели может применяться вместо него.

Источниками появления погрешностей при измерениях могут служить различные факторы, основными из которых являются: несовершенство конструкции средств измерений или принципиальной схемы метода измерения; неточность изготовления средств измерений; несоблюдение внешних условий при измерениях; субъективные погрешности и др.

2. Классификация погрешностей измерения

В зависимости от обстоятельств, при которых проводились измерения, а также в зависимости от целей измерения, выбирается та или иная классификация погрешностей. Иногда используют одновременно несколько взаимно пересекающихся классификаций, желая по нескольким признакам точно охарактеризовать влияющие на результат измерения физические величины. В таком случае рассматривают, например, инструментальную составляющую неисключённой систематической погрешности. При выборе классификаций важно учитывать наиболее весомые или динамично меняющиеся или поддающиеся регулировке влияющие величины. Ниже приведены общепринятые классификации согласно типовым признакам и влияющим величинам.

По виду представления, различают абсолютную, относительную и приведённую погрешности.

Абсолютная погрешность это разница между результатом измерения X и истинным значением Q измеряемой величины. Абсолютная погрешность находится как D = X — Q и выражается в единицах измеряемой величины.

Относительная погрешность это отношение абсолютной погрешности измерения к истинному значению измеряемой величины: d = D / Q = (X – Q) / Q .

Приведённая погрешность это относительная погрешность, в которой абсолютная погрешность средства измерения отнесена к условно принятому нормирующему значению Q_N, постоянному во всём диапазоне измерений или его части. Относительная и приведённая погрешности – безразмерные величины.

В зависимости от источника возникновения, различают субъективную, инструментальную и методическую погрешности.

Субъективная погрешность обусловлена погрешностью отсчёта оператором показаний средства измерения.

Инструментальная погрешность обусловлена несовершенством применяемого средства измерения. Иногда эту погрешность называют аппаратурной. Метрологические характеристики средств измерений нормируются согласно ГОСТ 8.009 – 84, при этом различают четыре составляющие инструментальной погрешности: основная, дополнительная, динамическая, интегральная. Согласно этой классификации, инструментальная погрешность зависит от условий и режима работы, а также от параметров сигнала и объекта измерения.

Методическая погрешность обусловлена следующими основными причинами:

– отличие принятой модели объекта измерения от модели, адекватно описывающей его метрологические свойства;

– влияние средства измерения на объект измерения;

– неточность применяемых при вычислениях физических констант и математических соотношений.

В зависимости от измеряемой величины, различают погрешность аддитивную и мультипликативную. Аддитивная погрешность не зависит от измеряемой величины. Мультипликативная погрешность меняется пропорционально измеряемой величине.

В зависимости от режима работы средства измерений, различают статическую и динамическую погрешности.

Динамическая погрешность обусловлена реакцией средства измерения на изменение параметров измеряемого сигнала (динамический режим).

Статическая погрешность средства измерения определяется при параметрах измеряемого сигнала, принимаемых за неизменные на протяжении времени измерения (статический режим).

По характеру проявления во времени, различают случайную и систематическую погрешности.

Систематической погрешностью измерения называют погрешность, которая при повторных измерениях одной и той же величины в одних и тех же условиях остаётся постоянной или закономерно меняется.

Случайной погрешностью измерения называют погрешность, которая при повторных измерениях одной и той же величины в одних и тех же условиях изменяется случайным образом.

3. Систематические погрешности

Систематические погрешности при повторных измерениях остаются постоянными или изменяются по определенному закону.

Когда судят о погрешности, подразумевают не значение, а интервал значений, в котором с заданной вероятностью находится истинное значение. Поэтому говорят об оценке погрешности. Если бы погрешность оказалась измеренной, т.е. стали бы известны её знак и значение, то её можно было бы исключить из действительного значения измеряемой физической величины и получить истинное значение.

Для получения результатов, минимально отличающихся от истинного значения измеряемой физической величины, проводят многократные наблюдения и проводят математическую обработку полученного массива с целью определения и минимизации случайной составляющей погрешности.

Минимизация систематической погрешности в процессе наблюдений выполняется следующими методами: метод замещения (состоит в замещении измеряемой величины мерой), метод противопоставления (состоит в двух поочерёдных измерениях при замене местами меры и измеряемого объекта), метод компенсации погрешности по знаку (состоит в двух поочерёдных измерениях, при которых влияющая величина становится противоположной).

При многократных наблюдениях возможно апостериорное (после выполнения наблюдений) исключение систематической погрешности в результате анализа рядов наблюдений. Рассмотрим графический анализ. При этом результаты последовательных наблюдений представляются функцией времени либо ранжируются в порядке возрастания погрешности.

Рассмотрим временную зависимость. Будем проводить наблюдения через одинаковые интервалы времени. Результаты последовательных наблюдений являются случайной функцией времени. В серии экспериментов, состоящих из ряда последовательных наблюдений, получаем одну реализацию этой функции. При повторении серии получаем новую реализацию, отличающуюся от первой.

Реализации отличаются преимущественно из-за влияния факторов, определяющих случайную погрешность, а факторы, определяющие систематическую погрешность, одинаково проявляются для соответствующих моментов времени в каждой реализации. Значение, соответствующее каждому моменту времени, называется сечением случайной функции времени. Для каждого сечения можно найти среднее по всем реализациям значение. Очевидно, что эта составляющая и определяет систематическую погрешность. Если через значения систематической погрешности для всех моментов времени провести плавную кривую, то она будет характеризовать временную закономерность изменения погрешности. Зная закономерность изменения, можем определить поправку для исключения систематической погрешности. После исключения систематической погрешности получаем «исправленный ряд результатов наблюдений».

Известен ряд способов исключения систематических погрешностей, которые условно можно разделить па 4 основные группы:

устранение источников погрешностей до начала измерений;
исключение почетностей в процессе измерения способами замещения, компенсации погрешностей по знаку, противопоставления, симметричных наблюдений;
внесение известных поправок в результат измерения (исключение погрешностей начислением);
оценка границ систематических погрешностей, если их нельзя исключить.

По характеру проявления систематические погрешности подразделяют на постоянные, прогрессивные и периодические.

Постоянные систематические погрешности сохраняют свое значение в течение всего времени измерений (например, погрешность в градуировке шкалы прибора переносится на все результаты измерений).

Прогрессивные погрешности – погрешности, которые в процессе измерении подрастают или убывают (например, погрешности, возникающие вследствие износа контактирующих деталей средств измерения).

И группу систематических погрешностей можно отнести: инструментальные погрешности; погрешности из-за неправильной установки измерительного устройства; погрешности, возникающие вследствие внешних влияний; погрешности метода измерения (теоретические погрешности); субъективные погрешности.

Любые производимые расчеты и измерения будут неточными. В связи с этим введено понятие погрешности. Это разница между теоретическим абсолютным значением и реальными измерениями. Также была разработана система оценки погрешностей. Но речь идет о приближенной, потому как истинное значение узнать невозможно. Подобной работой занимается наука метрология.

По сути, погрешности делятся по причине возникновения, по способу выражения и характеру проявления. Чаще используют два типа — абсолютную и относительную погрешность. Но также есть инструментальная, методическая, субъективная, случайная и систематическая.

Причины возникновения погрешности

Для точного восприятия понятия погрешности нужно понимать причины, по которым эти неточности возникают. Большинство из них неизменны и невозможно их устранить, поэтому важно учитывать эти данные в любых расчетах и измерениях:

При использовании прибора измерения неизбежно воздействие на объект. Это сжатие, нагрев или охлаждение. Для получения максимальной точности можно минимизировать это влияние, но нельзя избавиться от него совсем.
Каждое устройство для измерения не идеально. Производителем предусматривается погрешность, которую можно сразу учесть. К сожалению, будь то механический или электронный прибор, абсолютный результат получить невозможно.
На измерения может влиять окружающая среда. Условия меняются ежесекундно. Даже в лаборатории, где тщательно отслеживаются моменты температуры, влажности и иные показатели, есть изменения.
Исследования проводят в рамках знаний. Это касается шкалы, данных об объекте, а также отображении величин.

Для того чтобы ошибка была незначительной, необходимо рассчитать относительную погрешность, а также снизить до минимума влияние причин, по которым она возникает.

Чем отличается абсолютная и относительная погрешность

Для понимания, что такое погрешность, в первую очередь следует рассмотреть абсолютную. Это разница между действительными данными и показателями измерений. Первое значение может иметь место только в теории. Второе же зависит от используемых инструментов.

Относительная погрешность представляет собой отношение абсолютной к действительному значению. Эти данные выражаются в процентах. Для высчитывания необходимо знать, какая неточность прибора, понимать теоретическое действительное значение, а также сделать измерения. Затем с помощью формулы рассчитать показатель.

Классификация погрешностей

Для получения максимальной точности в исследованиях, погрешности разделены на группы по определенным критериям. Это позволяет оценить влияние причин возникновения ошибок, снизить их вероятность, добиться приближения к абсолютному значению.

По характеру проявления погрешности могут быть случайные. Также встречаются систематические, которые зависят от приборов, и прогрессирующие. Отдельно стоит категория грубой погрешности. Это означает, что необходимо еще раз проработать условия исследования — показатель слишком велик для того, чтобы считаться нормой.

Случайными называются те погрешности, которые образуются при одинаковых измерениях одного и того же объекта, если при этом соблюдены те же условия и работа сделана с одинаковой тщательностью. Обычно невозможно выявить единую закономерность. Это неустранимая ошибка.

Систематические погрешности можно выявить и устранить. Обычно измеряется одна и та же величина, но в связи с некоторыми условиями она меняется. Достаточно определить влияющий фактор и минимизировать его или устранить вовсе.

На прогрессирующие чаще влияет время. Многие физические величины (в связи с течением времени) меняются. Их можно стабилизировать на короткий срок, но в дальнейшем также будут возникать погрешности. Это число регулярно увеличивается и нет возможности повторить исследование при первоначальных данных.

Практическое применение

Проще понять, как работать с погрешностями, на примерах с целыми числами. Например, штат работающих людей округляют до десятков. Это нужно при заказе униформы или питания, при расчете количества рабочих мест. Здесь можно узнать абсолютную величину, например 1398. Округление с избытком происходит в большую сторону. Получается, что на 1400 человек необходим заказ. Число 2 будет считаться избытком. Для вычисления погрешности просчитывают процент. Результат будет 0,14%. Этот показатель называется погрешностью.

Подобные измерения проводятся с разными величинами и в самых разных условиях. Главное понимать сам принцип, по которому определяется и высчитывается относительная погрешность.

Видеоурок: Абсолютная и относительная погрешность

Что такое экстремумы функции: критические точки максимума и минимума. Ответ в нашей статье по ссылке.

Источники:

http://aco.ifmo.ru/el_books/numerical_methods/lectures/app_1.html
https://studopedia.ru/14_118457_reshenie-tehnicheski-oformlyaetsya-dvumya-sposobami-nachnem-s-pervogo-uzhe-znakomogo-podhoda-lesenka-nachinaetsya-s-doshchechki-a-proizvodnaya-funktsiya—s-proizvodnoy-v-tochke.html

Источник

Относительная ошибка — это отклонение измеренного значения от истинного значения, выраженное в процентах. Она используется для описания точности измерений и позволяет сравнивать ошибки в разных единицах измерения и на различных масштабах.

Относительная ошибка высчитывается как отношение абсолютной ошибки к значению измеренной величины:

Относительная ошибка = (абсолютная ошибка / измеренное значение) * 100%

Например, если измеренное значение температуры равно 25°C, а истинное значение равно 24°C, то абсолютная ошибка будет 1°C. Относительная ошибка будет равна:

Относительная ошибка = (1 / 25) * 100% = 4%

При интерпретации результатов измерений относительная ошибка должна быть учитывана вместе с абсолютной ошибкой и доверительной вероятностью, чтобы получить более полное представление о точности измерений.

Содержание

Определение относительной ошибки
Когда используется относительная ошибка
Расчет относительной ошибки
Пример вычисления относительной ошибки
Значение относительной ошибки
Способы уменьшения относительной ошибки
Применение относительной ошибки в различных областях
Вопрос-ответ
Как вычислить относительную ошибку при измерении величин?
Зачем нужно вычислять относительную ошибку при измерениях?
Какие могут быть источники погрешности при измерениях величин?

Определение относительной ошибки

Относительная ошибка — это показатель точности измерения, который выражает отклонение результата измерения от истинного значения в процентном отношении к последнему. Этот показатель позволяет более объективно оценить точность измерений, так как он учитывает масштаб измеряемой величины.

Формула для вычисления относительной ошибки выглядит следующим образом:

Относительная ошибка = (|измеренное значение — истинное значение| / истинное значение) * 100%

Знак «|» указывает на модуль разности между измеренным и истинным значением. Данный показатель выражается в процентах и может быть положительным или отрицательным. Если относительная ошибка равна нулю, значит, измерения были точными.

Относительная ошибка широко применяется в физике, химии, инженерии и других научных областях для оценки точности результатов измерений. При выполнении экспериментов необходимо учитывать погрешности измерений и указывать результаты с соответствующей точностью, что позволяет избежать ошибок при дальнейших расчетах и применении полученных данных.

Когда используется относительная ошибка

Относительная ошибка используется в различных областях, когда необходимо оценить точность измерения или расчета. Например, в физике, инженерии, экономике, медицине и т.д.

Относительная ошибка показывает, насколько большой процент ошибки составляет относительно значения, которое мы измеряем или рассчитываем.

Эти значения могут использоваться для сравнения точности различных измерительных приборов или для определения надежности определенной формулы, используемой для расчетов. Относительная ошибка также может быть использована для оценки точности эксперимента или исследования, что позволяет ученым сделать вывод о значимости полученных результатов.

Относительная ошибка вычисляется как отношение абсолютной ошибки к значению, которое мы измеряем или рассчитываем. Значение ошибки, которое можно терпеть, зависит от конкретной ситуации и требований к точности.

В целом, использование относительной ошибки позволяет более точно оценить погрешность измерений и расчетов, что является важным аспектом во многих областях науки и техники.

Расчет относительной ошибки

Относительная ошибка – это показатель точности измерений или вычислений, выраженный в процентах. Данная ошибка показывает, насколько сильно результат отличается от истинного значения, деленного на значение истинного результата.

Для расчета относительной ошибки достаточно знать истинное значение и полученное значение. Формула расчета:

Относительная ошибка = (|Полученное значение – Истинное значение| / Истинное значение) * 100%

Пример: была измерена длина стола, и полученный результат составил 150 см. Точное значение длины стола равно 160 см. Тогда относительная ошибка будет равна:

Относительная ошибка = (|150 – 160| / 160) * 100% = 6,25%

Очевидно, что результат измерения отличается на 6,25% от истинного значения. Данный показатель используется в различных приложениях, где имеется необходимость в точных измерениях или вычислениях.

Пример вычисления относительной ошибки

Относительная ошибка используется для оценки точности измерения или расчета, в котором требуется сравнить полученный результат с известным значением. Относительная ошибка выражается в процентах и рассчитывается по формуле:

Относительная ошибка = (|Истинное значение — Измеренное значение| / Истинное значение) * 100%

Рассмотрим пример вычисления относительной ошибки. Предположим, что мы измеряем длину стола, известная истинная длина которого 150 см. После измерения мы получили значение 145 см.

Истинное значение:	150 см
Измеренное значение:	145 см
Относительная ошибка:	(\|150 — 145\| / 150) * 100% = 3.33%

Таким образом, относительная ошибка измерения длины стола составляет 3.33%. Это означает, что наш результат отклоняется от истинного значения на 3.33%. Чем меньше значение относительной ошибки, тем более точен наш результат измерения или расчета.

Значение относительной ошибки

Относительная ошибка является показателем точности измерения. Эта ошибка представляет собой отношение абсолютной ошибки к истинному значению измеряемой величины или к среднему значению, если проводилось несколько измерений. Относительная ошибка обычно выражается в процентах и может быть положительной или отрицательной.

Если относительная ошибка мала, это означает, что результаты измерения точны и достаточно близки к истинному значению. Если же относительная ошибка большая, это говорит о недостаточной точности измерения.

Относительная ошибка может быть полезной при оценке качества измерительных приборов и методов измерения. Этот показатель также может использоваться для сравнения точности различных приборов и методов измерения. Чем меньше относительная ошибка, тем выше точность измерения.

Для вычисления относительной ошибки необходимо знать истинное значение величины или ее среднее значение, а также результаты измерения. Формула для расчета относительной ошибки имеет вид:

Относительная ошибка (%) =

Абсолютная ошибка / Истинное значение или среднее значение

100%

* Если используется среднее значение, то в знаменатель формулы подставляется именно оно.

Способы уменьшения относительной ошибки

Относительная ошибка может быть уменьшена при соблюдении нескольких правил:

Точность измерительных приборов. Для получения более точных результатов необходимо использовать более точные измерительные приборы. Например, при измерении длины прута точность измерительной линейки должна быть выше, чем точность длины самого прута.
Устранение систематической ошибки. Систематическая ошибка возникает при измерении вследствие неправильного использования приборов. Ее можно устранить путем их настройки и калибровки или использования других приборов.
Увеличение количества измерений. Чем больше измерений будет сделано, тем меньше будет вероятность случайной ошибки. Для более точных результатов рекомендуется производить более 5 измерений.
Использование статистических методов. При проведении измерений можно использовать статистические методы, такие как метод наименьших квадратов, чтобы уменьшить относительную ошибку и получить более точные результаты.

При соблюдении этих правил можно достичь более высокой точности измерений и снизить относительную ошибку.

Применение относительной ошибки в различных областях

Относительная ошибка – это один из наиболее часто используемых показателей точности измерений. Она выражается в процентах и позволяет оценить степень точности измерительной техники и методик. Применение относительной ошибки возможно в различных областях, некоторые из которых описаны далее.

Физика: В физике важны точность и элементарность измерений. Относительные ошибки используются для оценки точности экспериментов и достоверности результатов. Например, при измерении мощности электрической лампы может быть вычислена относительная ошибка измерения мощности.
Экономика: Относительная ошибка используется также в экономике при оценке качества прогнозов. Например, чтобы оценить точность экономической прогнозной модели, можно получить относительную ошибку наблюдаемых данных относительно прогнозируемых.
Медицина: В медицине относительная ошибка может быть использована для оценки точности лабораторных и клинических результатов. Относительная ошибка может показать, насколько сильно значение отклоняется от правильного значения, что является важным показателем для процедур, таких как анализ крови и мочи.

В целом, относительные ошибки имеют широкое применение в различных научных областях, где требуется оценить точность измерений и различных расчетов. Также они могут помочь выявить неточности в данных и улучшить качество полученных результатов.

Вопрос-ответ

Как вычислить относительную ошибку при измерении величин?

Относительная ошибка показывает, насколько велика погрешность измерений по сравнению с самой величиной. Вычисляется по формуле: относительная ошибка = (погрешность / измеренное значение) * 100%. Таким образом, чтобы найти относительную ошибку, нужно сначала определить погрешность измерений, а затем разделить ее на значение величины, измеренной прибором. Результат умножается на 100%, чтобы получить значение в процентах.

Зачем нужно вычислять относительную ошибку при измерениях?

Вычисление относительной ошибки является важным шагом при измерении величин, так как оно позволяет определить точность измерений и их достоверность. Без учета погрешности измерений рассчитанные на ее основе данные будут недостоверными. Кроме того, знание относительной ошибки позволяет сравнить точность различных приборов и выбрать наиболее точный для данного измерения.

Какие могут быть источники погрешности при измерениях величин?

Погрешности измерений могут возникать по разным причинам. Одной из основных является погрешность прибора, которая может быть связана с его калибровкой, износом или несовершенствами в конструкции. Также погрешности могут быть вызваны окружающей средой, например, изменением температуры, давления, влажности воздуха и т.д. При измерении жидкостей или газов важным фактором может быть их состав и чистота. Наконец, погрешности могут возникать из-за человеческого фактора, например, из-за неточности взаимодействия с прибором или снятия показаний.

Источник

Абсолютная и относительная погрешность

4.2

Средняя оценка: 4.2

Всего получено оценок: 2205.

4.2

Средняя оценка: 4.2

Всего получено оценок: 2205.

Опыт работы учителем математики — более 33 лет.

Абсолютная погрешность

Для подсчета абсолютной погрешности необходимо из большего числа вычитать меньшее.

Δа=А-а. Как найти абсолютную погрешность по формуле, мы рассмотрели выше.

Относительная погрешность

Правила подсчета погрешностей

Для номинальной оценки погрешностей существует несколько правил:

при сложении и вычитании чисел необходимо складывать их абсолютные погрешности;
при делении и умножении чисел требуется сложить относительные погрешности;
при возведении в степень относительную погрешность умножают на показатель степени.

Что мы узнали?

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

Светлана Лобанова-Асямолова

10/10
Валерий Соломин

10/10
Анастасия Юшкова

10/10
Ксюша Пономарева

7/10
Паша Кривов

10/10
Евгений Холопик

9/10
Guzel Murtazina

10/10
Максим Аполонов

10/10
Olga Bimbirene

9/10
Света Колодий

10/10

Оценка статьи

4.2

Средняя оценка: 4.2

Всего получено оценок: 2205.

А какая ваша оценка?

Источник

Напечатано::	Гость
Дата:	понедельник, 12 июня 2023, 01:38

Описание

1. Понятие о погрешности измерения.

2. Классификация погрешностей измерения.

3. Систематические погрешности

1. Понятие о погрешности измерения

2. Классификация погрешностей измерения

По виду представления, различают абсолютную, относительную и приведённую погрешности.

Субъективная погрешность обусловлена погрешностью отсчёта оператором показаний средства измерения.

Методическая погрешность обусловлена следующими основными причинами:

– отличие принятой модели объекта измерения от модели, адекватно описывающей его метрологические свойства;

– влияние средства измерения на объект измерения;

– неточность применяемых при вычислениях физических констант и математических соотношений.

В зависимости от режима работы средства измерений, различают статическую и динамическую погрешности.

По характеру проявления во времени, различают случайную и систематическую погрешности.

3. Систематические погрешности

устранение источников погрешностей до начала измерений;
исключение почетностей в процессе измерения способами замещения, компенсации погрешностей по знаку, противопоставления, симметричных наблюдений;
внесение известных поправок в результат измерения (исключение погрешностей начислением);
оценка границ систематических погрешностей, если их нельзя исключить.

Источник

Ч
а с т ь I

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ
ИЗМЕРЕНИЙ

1.
КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ОШИБОК

Абсолютная
и относительная ошибки

Никакую
физическую величину невозможно измерить
абсолютно точно: как бы тщательно ни
был поставлен опыт, измеренное значение
величины х
будет
отличаться от ее истинного значения Х.
Разница между этими значениями
представляет собой абсолютную
ошибку (или
абсолютную
погрешность^{^*})
измерения х:

х
= х – Х.
(1)

Абсолютная погрешность
является размерной величиной: она
выражается в тех же единицах, что и сама
измеряемая величина (например, абсолютная
погрешность измерения длины выражается
в метрах, силы тока – в амперах и т.д.).
Как следует из выражения (1), х
может быть как положительной, так и
отрицательной величиной.

Хотя
величина х
показывает, насколько измеренное
значение отличается от истинного, одной
лишь абсолютной ошибкой нельзя полностью
характеризовать точность проделанного
измерения. Пусть, например, известно,
что абсолютная погрешность измерения
расстояния равна 1 м.
Если измерялось расстояние между
географическими пунктами (порядка
нескольких километров), то точность
такого измерения следует признать
весьма высокой; если же измерялись
размеры помещения (не превышающие
десятка метров), то измерение является
грубым. Для характеристики точности
существует понятие относительной
ошибки
(или относительной
погрешности)
Е,
представляющей собой отношение модуля
абсолютной ошибки к измеряемой величине:

.
(2)

Очевидно, что
относительная погрешность – величина
безразмерная, чаще всего ее выражают в
процентах.

При
определении ошибок измерений важно
иметь в виду следующее. Выражения (1) и
(2) содержат истинное значение измеряемой
величины Х,
которое точно знать невозможно: поэтому
значения х
и Е
в принципе не могут быть рассчитаны
точно. Можно лишь оценить
эти значения, т.е. найти их приближенно
с той или иной степенью достоверности.
Поэтому все расчеты, связанные с
определением погрешностей, должны
носить приближенный (оценочный) характер.

Случайная
и приборная погрешности

Разнообразные ошибки,
возникающие при измерениях, можно
классифицировать как по их происхождению,
так и по характеру их проявления.

По происхождению
ошибки делятся на инструментальные и
методические.

Инструментальные
погрешности обусловлены несовершенством
применяемых измерительных приборов и
приспособлений. Эти погрешности могут
быть уменьшены за счет применения более
точных приборов. Так, размер детали
можно измерить линейкой или штанген-циркулем.
Очевидно, что во втором случае ошибка
измерения меньше, чем в первом.

Методические
погрешности возникают из-за того, что
реальные физические процессы всегда в
той или иной степени отличаются от их
теоретических моделей. Например, формула
для периода колебаний математического
маятника в точности верна лишь при
бесконечно малой амплитуде колебаний;
формула Стокса, определяющая силу трения
при движении шарика в вязкой жидкости,
справедлива только в случае идеально
сферической формы и т.д. Обнаружить и
учесть методическую погрешность можно
путем измерения той же величины совершенно
иным независимым методом.

По характеру проявления
ошибки бывают систематические и
случайные.

Систематическая
погрешность может быть обусловлена как
приборами, так и методикой измерения.
Она имеет две характерные особенности.
Во-первых, систематическая погрешность
всегда либо положительна, либо отрицательна
и не меняет своего знака от опыта к
опыту. Во-вторых, систематическую
погрешность нельзя уменьшить за счет
увеличения числа измерений. Например,
если при отсутствии внешних воздействий
стрелка измерительного прибора показывает
величину х₀, отличную от
нуля, то во всех дальнейших измерениях
будет присутствовать систематическая
ошибка, равная х₀.

Случайная
ошибка также может быть как инструментальной,
так и методической. Причину ее появления
установить трудно, а чаще всего –
невозможно (это могут быть различные
помехи, случайные толчки, вибрации,
неверно взятый отсчет по прибору и
т.д.). Случайная погрешность бывает и
положительной и отрицательной, причем
непредсказуемо изменяет свой знак от
опыта к опыту. Значение ее можно уменьшить
путем увеличения числа измерений.

Детальный
анализ погрешностей измерения представляет
собой сложную задачу, для решения которой
не существует единого рецепта. Поэтому
в каждом конкретном случае этот анализ
проводят по-разному. Однако, в первом
приближении, если исключена систематическая
ошибка, то остальные можно условно
свести к следующим двум видам: приборная
и случайная.

Приборной
погрешностью в дальнейшем будем
называть случайную ошибку, обусловленную
измерительными приборами и приспособлениями,
а случайной – ошибку, причина
появления которой неизвестна. Приборную
погрешность измерения величины х
будем обозначать как х,
случайную – как _sx.

Оценка
случайной погрешности. Доверительный
интервал

Методика оценки
случайной погрешности основана на
положениях теории вероятностей и
математической статистики. Оценить
случайную ошибку можно только в том
случае, когда проведено неоднократное
измерение одной и той же величины.

Пусть
в результате проделанных измерений
получено п
значений величины х:
х₁,
х₂,
…, х_п.
Обозначим через

среднеарифметическое значение

.
(3)

В
теории вероятностей доказано, что при
увеличении числа измерений п
среднеарифметическое значение измеряемой
величины приближается к истинному:

При
небольшом числе измерений (п  10)
среднее значение может существенно
отличаться от истинного. Для того, чтобы
знать, насколько точно значение

характеризует измеряемую величину,
необходимо определить так называемый
доверительный интервал полученного
результата.

Поскольку
абсолютно точное измерение невозможно,
то вероятность правильности утверждения
«величина х
имеет значение, в точности равное
»
равна нулю. Вероятность же утверждения
«величина х
имеет какое-либо значение»
равна единице (100%). Таким образом,
вероятность правильности любого
промежуточного утверждения лежит в
пределах от 0 до 1. Цель измерения – найти
такой интервал, в котором с наперед
заданной вероятностью 
(0 <  < 1)
находится истинное значение измеряемой
величины. Этот интервал называется
доверительным
интервалом,
а неразрывно связанная с ним величина

–
доверительной вероятностью
(или коэффициентом
надежности).
За середину интервала принимается
среднее значение, рассчитанное по
формуле (3). Половина ширины доверительного
интервала представляет собой случайную
погрешность _sx
(рис. 1).

Рис.1

Очевидно,
что
ширина доверительного интервала (а
следовательно, и ошибка _sx)
зависит от того, насколько сильно
отличаются отдельные измерения величины
х_i
от среднего
значения
.
«Разброс» результатов измерений
относительно среднего характеризуется
среднеквадратичной
ошибкой ,
которую находят по формуле

,
(4)

где
.

Ширина
искомого доверительного интервала
прямо пропорциональна среднеквадратичной
ошибке:

.
(5)

Коэффициент
пропорциональности t_n,_
называется
коэффициентом
Стьюдента;
он зависит от числа опытов п
и доверительной вероятности .

На
рис. 1, а, б
наглядно
показано, что при прочих равных условиях
для увеличения вероятности попадания
истинного значения в доверительный
интервал необходимо увеличить ширину
последнего (вероятность «накрывания»
значения Х
более широким интервалом выше).
Следовательно, величина t_n,_
должна быть тем больше, чем выше
доверительная вероятность
.

С
увеличением количества опытов среднее
значение приближается к истинному;
поэтому при той же вероятности 
доверительный интервал можно взять
более узким (см. рис. 1, а,в).
Таким образом, с ростом п
коэффициент Сьюдента должен
уменьшаться. Таблица значений коэффи-циента
Стьюдента в зависимости от п
и 
дана в приложениях к настоящему пособию.

Следует
отметить, что доверительная вероятность
никак не связана с точностью результата
измерений. Величиной 
задаются
заранее, исходя из требований к их
надежности. В большинстве технических
экспериментов и в лабораторном практикуме
значение 
принимается
равным 0,95.

Расчет
случайной погрешности измерения величины
х проводится
в следующем порядке:

1) вычисляется
сумма измеренных значений, а затем –
среднее значение величины

по формуле (3);

2) для
каждого i-го
опыта рассчитываются разность между
измеренным и средним значениями
,
а также квадрат этой разности (отклонения)
(х_i)²;

3) находится
сумма квадратов отклонений, а затем –
средне-квадратичная ошибка 
по формуле (4);

4) по
заданной доверительной вероятности 
и числу
проведенных опытов п
из таблицы на с. 149 приложений выбирается
соответствующее значение коэффициента
Стьюдента t_n,_
и определяется случайная погрешность
_sx
по формуле (5).

Для
удобства расчетов и проверки промежуточных
результатов данные заносятся в таблицу,
три последних столбца которой заполняются
по образцу табл.1.

Таблица
1

Номер опыта	…	х	х	(х)²
1	…
2	…
…	…
п	…
	 =		 =

В
каждом конкретном случае величина х
имеет определенный физический смысл и
соответствующие единицы измерения. Это
может быть, например, ускорение свободного
падения g
(м/с²),
коэффициент вязкости жидкости 
(Пас)
и т.д. Пропущенные столбцы табл. 1
могут содержать промежуточные измеряемые
величины, необходимые для расчета
соответствующих значений х.

Пример
1. Для
определения ускорения а
движения тела измерялось время t
прохождения им пути S
без начальной
скорости. Используя известное соотношение
,
получим расчетную формулу

.
(6)

Результаты
измерений пути S
и времени t
приведены во втором и третьем столбцах
табл. 2. Проведя вычисления по формуле
(6), заполним

четвертый
столбец значениями ускорения a_i
и найдем их сумму, которую запишем под
этим столбцом в ячейку « 
= ». Затем рассчитаем среднее значение

по формуле (3)

Таблица
2

Номер опыта	S, м	t, c	а, м/с²	а, м/с²	(а)², (м/с²)²
1	5	2,20	2,07	0,04	0,0016
2	7	2,68	1,95	-0,08	0,0064
3	9	2,91	2,13	0,10	0,0100
4	11	3,35	1,96	-0,07	0,0049
		 =	8,11	 =	0,0229

Вычитая
из каждого значения a_i
среднее, найдем разности a_i
и занесем их в пятый столбец таблицы.
Возводя эти разности в квадрат, заполним
последний столбец. Затем рассчитаем
сумму квадратов отклонений и запишем
ее во вторую ячейку « 
= ». По формуле (4) определим
среднеквадратичную погрешность:

Задавшись
величиной доверительной вероятности
 = 0,95,
для числа опытов п = 4
из таблицы в приложениях (с. 149) выбираем
значение коэффициента Стьюдента t_n,_
= 3,18; с помощью формулы (5) оценим
случайную погрешность измерения
ускорения

_sа
= 3,180,0437  0,139 (м/с²) .

Способы
определения приборных ошибок

Основными характеристиками
измерительных приборов являются предел
измерения и цена деления, а также –
главным образом для электро-измерительных
приборов – класс точности.

Предел
измерения П
– это максимальное значение величины,
которое может быть измерено с помощью
данной шкалы прибора. Если
предел измерения не указан отдельно,
то его определяют по оцифровке шкалы.
Так, если рис. 2
изображает шкалу миллиамперметра, то
его предел измерения равен 100 мА.

Р
ис.2

Цена
деления Ц –
значение измеряемой величины,
соответствующее самому малому делению
шкалы. Если шкала начинается с нуля, то

где
N
– общее количество делений (например,
на рис. 2
N = 50).
Если эта шкала принадлежит амперметру
с пределом измерения 5 А,
то цена деления равна 5/50 = 0,1 (А).
Если шкала принадлежит термометру и
проградуирована в С,
то цена деления Ц = 100/50 = 2 (С).
Многие электроизмерительные приборы
имеют несколько пределов измерения.
При переключении их с одного предела
на другой изменяется и цена деления
шкалы.

Класс
точности К
представляет собой отношение абсолютной
приборной погрешности к пределу измерения
шкалы, выраженное в процентах:

.
(7)

Значение класса
точности (без символа «%») указывается,
как правило, на электроизмерительных
приборах.

В зависимости от вида
измерительного устройства абсолютная
приборная погрешность определяется
одним из нижеперечисленных способов.

1. Погрешность
указана непосредственно на приборе.
Так, на микрометре есть надпись «0,01 мм».
Если с помощью этого прибора измеряется,
например, диаметр шарика D
(лабораторная работа 1.2), то погрешность
его измерения D = 0,01 мм.
Абсолютная ошибка указывается обычно
на жидкостных (ртутных, спиртовых)
термометрах, штангенциркулях и др.

2. На приборе указан
класс точности. Согласно определению
этой величины, из формулы (7) имеем

.
(8)

Например, для вольтметра
с классом точности 2,5 и пределом измерения
600 В абсолютная приборная ошибка
измерения напряжения

3. Если на приборе
не указаны ни абсолютная погрешность,
ни класс точности, то в зависимости от
характера работы прибора возможны два
способа определения величины х:

а) указатель
значения измеряемой величины может
занимать только определенные (дискретные)
положения, соответствующие делениям
шкалы (например, электронные часы,
секундомеры, счетчики импульсов и т.п.).
Такие приборы являются приборами
дискретного действия, и их абсолютная
погрешность равна цене деления шкалы:
х = Ц.
Так, при измерении промежутка времени
t секундомером с ценой
деления 0,2 с погрешность t = 0,2 с;

б) указатель
значения измеряемой величины может
занимать любое положение на шкале
(линейки, рулетки, стрелочные весы,
термометры и т.п.). В этом случае абсолютная
приборная погрешность равна половине
цены деления: х = Ц/2.
Точность снимаемых показаний прибора
не должна превышать его возможностей.
Например, при показанном на рис. 3
положении стрелки прибора следует
записать либо 62,5 либо 63,0 – в обоих
случаях ошибка не превысит половины
цены деления. Записи же типа 62,7 или 62,8
не имеют смысла.

Рис.3

4. Если какая-либо
величина не измеряется в данном оыте,
а была измерена независимо и известно
лишь ее значение, то она является заданным
параметром. Так, в работе 2.1 по
определению коэффициента вязкости
воздуха такими параметрами являются
размеры капилляра, в опыте Юнга по
интерференции света (работа 5.1) –
расстояние между щелями и т.д. Погрешность
заданного параметра принимается равной
половине единицы последнего разряда
числа, которым задано значение этого
параметра. Например, если радиус капилляра
r задан с точностью
до сотых долей миллиметра, то его
погрешность r = 0,005 мм.

Погрешности
косвенных измерений

В большинстве физических
экспериментов искомая величина и
не измеряется непосредственно каким-либо
одним прибором, а рассчитывается на
основе измерения ряда промежуточных
величин x, y, z,…
Расчет проводится по определенной
формуле, которую в общем виде можно
записать как

и = и(x, y, z,…).
(9)

В этом случае говорят,
что величина и представляет собой
результат косвенного измерения в
отличие от x, y, z,…,
являющихся результатами прямых
измерений. Например, в
работе 1.2 коэффициент вязкости жидкости

рассчитывается по формуле

,
(10)

где _ш
– плотность материала шарика; _ж
– плотность жидкости; g
– ускорение свободного падения; D
– диаметр шарика; t –
время его падения в жидкости; l
– расстояние между метками на сосуде.
В данном случае результатами прямых
измерений являются величины l,
D и t,
а коэффициент вязкости 
– результат косвенного
измерения. Величины _ш,
_ж
и g представляют
собой заданные параметры.

Абсолютная
погрешность косвенного измерения и
зависит от погрешностей прямых измерений
x,
y,
z…и
от вида функции (9). Как правило, величину
и
можно оценить по формуле
вида

,
(11)

где
коэффициенты k_x,
k_y,
k_z,…
определяются видом зависимостей величины
и от x,
y, z,…
Приведенная ниже табл. 3 позволяет
найти эти коэффициенты для наиболее
распространенных элементарных функций
(a, b, c, n
– заданные константы).

Таблица
3

и(х)	k_x

На
практике зависимость (9) чаще всего имеет
вид степенной функции

показатели степеней
которой k,
m, n,…
– вещественные (положительные или
отрицательные, целые или дробные) числа;
С – постоянный коэффициент. В этом
случае абсолютная приборная погрешность
и
оценивается по формуле

,
(12)

где

– среднее значение величины и;

– относительные приборные погрешности
прямых измерений величин x,
y, z,…
Для подстановки в формулу (12) выбираются
наиболее представительные, т.е.
близкие к средним значения x,
y, z,…

При расчетах по
формулам типа (12) необходимо помнить
следующее.

1. Измеряемые
величины и их абсолютные погрешности
(например, х и х)
должны быть выражены в одних и тех же
единицах.

2. Расчеты не требуют
высокой точности вычислений и должны
иметь оценочный характер. Так, входящие
в подкоренное выражение и возводимые
в квадрат величины (kE_x,
mE_y,
nE_z,…)
обычно округляются с точностью до
двух значащих цифр (напомним, что ноль
является значащей цифрой только тогда,
когда перед ним слева есть хотя бы одна
цифра, отличная от нуля). Далее, если
одна из этих величин (например, |kE_x|)по
модулю превышает наибольшую из остальных
(|mE_y|,
|nE_z|,…)
более чем в три раза, то можно, не прибегая
к вычислениям по формуле (12), принять
абсолютную ошибку равной
.
Если же одна из них более чем в три раза
меньше наименьшей из остальных, то при
расчете по формуле (12) ею можно пренебречь.

Пример 2.
Пусть при определении ускорения тела
(см. пример 1) путь S
измерялся рулеткой с ценой деления
1 мм, а время t
– электронным секундомером. Тогда, в
соответствии с изложенными в п.3, а, б
(с. 13) правилами, погрешности прямых
измерений будут равны

S = 0,5 мм = 0,0005 м;

t = 0,01 с.

Расчетную формулу
(6) можно записать в виде степенной
функции

a(S, t) = 2S¹t^– 2;

тогда на основании
(12) погрешность косвенного измерения
ускорения а
определится выражением

В
качестве наиболее представительных
значений измеренных величин возьмем
(см. табл. 2) S  8 м;
t  3 с
и оценим по модулю относительные
приборные ошибки прямых измерений с
учетом их весовых коэффициентов:

;

Очевидно,
что в данном случае величиной E_S
можно пренебречь и принять погрешность
а
равной

Пример 3.
Вернемся к определению коэффициента
вязкости жидкости (работа 1.2). Расчетную
формулу (10) можно представить в виде

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Содержание

Определение погрешности

Классификация погрешностей

По форме представления

По причине возникновения

По характеру проявления

По способу измерения

См. также

Литература

Абсолютная и относительная погрешность

Абсолютная погрешность

Относительная погрешность

Правила подсчета погрешностей

Что мы узнали?

Тест по теме

Оценка статьи

Что такое погрешность измерения

Математическая погрешность: формула для каждого типа

Абсолютная погрешность измерений: формула

Относительная погрешность: формула

Приведенная погрешность: формула

Классификация оценочной погрешности

Что такое случайная погрешность

Что такое систематическая погрешность

Погрешность выборки

Как минимизировать погрешность выборки

Погрешность измерения

Как минимизировать погрешность измерения

Абсолютная и относительная погрешности (ошибки).

Законы распределения случайных величин.

Описание

Оглавление

1. Понятие о погрешности измерения

2. Классификация погрешностей измерения

3. Систематические погрешности

Причины возникновения погрешности

Чем отличается абсолютная и относительная погрешность

Классификация погрешностей

Практическое применение

Определение относительной ошибки

Когда используется относительная ошибка

Расчет относительной ошибки

Пример вычисления относительной ошибки

Значение относительной ошибки

Способы уменьшения относительной ошибки

Применение относительной ошибки в различных областях

Вопрос-ответ

Как вычислить относительную ошибку при измерении величин?

Зачем нужно вычислять относительную ошибку при измерениях?

Какие могут быть источники погрешности при измерениях величин?

Абсолютная и относительная погрешность

Абсолютная погрешность

Относительная погрешность

Правила подсчета погрешностей

Что мы узнали?

Тест по теме

Оценка статьи

Описание

Оглавление

1. Понятие о погрешности измерения

2. Классификация погрешностей измерения

3. Систематические погрешности

Возможно, вам также будет интересно: