Что такое ошибка выборки статистика

Расхождения
между величиной какого-либо показателя,
найденного посредством статистического
наблюдения, и действительными его
размерами называются ошибками
наблюдения.В зависимости от
причин возникновения различают ошибки
регистрации и ошибки репрезентативности.

Ошибки
регистрациивозникают в результате
неправильного установления фактов или
ошибочной записи в процессе наблюдения
или опроса. Они бывают случайными или
систематическими. Случайные ошибки
регистрации могут быть допущены как
опрашиваемыми в их ответах, так и
регистраторами. Систематические ошибки
могут быть и преднамеренными, и
непреднамеренными. Преднамеренные –
сознательные, тенденциозные искажения
действительного положения дела.
Непреднамеренные вызываются различными
случайными причинами (небрежность,
невнимательность).

Ошибки
репрезентативности(представительности)
возникают в результате неполного
обследования и в случае, если обследуемая
совокупность недостаточно полно
воспроизводит генеральную совокупность.
Они могут быть случайными и систематическими.
Случайные ошибки репрезентативности
– это отклонения, возникающие при
несплошном наблюдении из-за того, что
совокупность отобранных единиц наблюдения
(выборка) неполно воспроизводит всю
совокупность в целом. Систематические
ошибки репрезентативности – это
отклонения, возникающие вследствие
нарушения принципов случайного отбора
единиц. Ошибки репрезентативности
органически присущи выборочному
наблюдению и возникают в силу того, что
выборочная совокупность не полностью
воспроизводит генеральную. Избежать
ошибок репрезентативности нельзя,
однако, пользуясь методами теории
вероятностей, основанными на использовании
предельных теорем закона больших чисел,
эти ошибки можно свести к минимальным
значениям, границы которых устанавливаются
с достаточно большой точностью.

Ошибки
выборки –разность между
характеристиками выборочной и генеральной
совокупности. Для среднего значения
ошибка будет определяться по формуле

(7.1)

где

Величина
называетсяпредельной ошибкойвыборки.

Предельная
ошибка выборки – величина случайная.
Исследованию закономерностей случайных
ошибок выборки посвящены предельные
теоремы закона больших чисел. Наиболее
полно эти закономерности раскрыты в
теоремах П. Л. Чебышева и А. М. Ляпунова.

Теорему П.
Л. Чебышева применительно к
рассматриваемому методу можно
сформулировать следующим образом: при
достаточно большом числе независимых
наблюдений можно с вероятностью, близкой
к единице (т. е. почти с достоверностью),
утверждать, что отклонение выборочной
средней от генеральной будет сколько
угодно малым. В теореме П. Л. Чебышева
доказано, что величина ошибки не должна
превышать.
В свою очередь величина,
выражающая среднее квадратическое
отклонение выборочной средней от
генеральной средней, зависит от
колеблемости признака в генеральной
совокупностии числа отобранных единицn. Эта
зависимость выражается формулой

,
(7.2)

где
зависит также от способа производства
выборки.

Величину
=называютсредней ошибкой выборки. В
этом выражении– генеральная дисперсия,n– объем
выборочной совокупности.

Рассмотрим, как
влияет на величину средней ошибки число
отбираемых единиц n. Логически
нетрудно убедиться, что при отборе
большого числа единиц расхождения между
средними будут меньше, т. е. существует
обратная связь между средней ошибкой
выборки и числом отобранных единиц. При
этом здесь образуется не просто обратная
математическая зависимость, а такая
зависимость, которая показывает, что
квадрат расхождения между средними
обратно пропорционален числу отобранных
единиц.

Увеличение
колеблемости признака влечет за собой
увеличение среднего квадратического
отклонения, а следовательно, и ошибки.
Если предположить, что все единицы будут
иметь одинаковую величину признака, то
среднее квадратическое отклонение
станет равно нулю и ошибка выборки
также исчезнет. Тогда нет необходимости
применять выборку. Однако следует иметь
в виду, что величина колеблемости
признака в генеральной совокупности
неизвестна, поскольку неизвестны размеры
единиц в ней. Можно рассчитать лишь
колеблемость признака в выборочной
совокупности. Соотношение между
дисперсиями генеральной и выборочной
совокупности выражается формулой

Поскольку
величина
при достаточно большихnблизка к
единице, можно приближенно считать, что
выборочная дисперсия равна генеральной
дисперсии, т. е.

Следовательно,
средняя ошибка выборки показывает,
какие возможны отклонения характеристик
выборочной совокупности от соответствующих
характеристик генеральной совокупности.
Однако о величине этой ошибки можно
судить с определенной вероятностью. На
величину вероятности указывает множитель

Теорема А.
М. Ляпунова. А. М. Ляпунов доказал,
что распределение выборочных средних
(следовательно, и их отклонений от
генеральной средней) при достаточно
большом числе независимых наблюдений
приближенно нормально при условии, что
генеральная совокупность обладает
конечной средней и ограниченной
дисперсией.

Математически
теорему Ляпуноваможно записать
так:

(7.3)

где

,
(7.4)

где – математическая постоянная;

–предельная ошибка выборки,которая дает возможность выяснить, в
каких пределах находится величина
генеральной средней.

Значения этого
интеграла для различных значений
коэффициента доверия tвычислены и
приводятся в специальных математических
таблицах. В частности, при:

Поскольку tуказывает на вероятность расхождения,
т. е. на вероятность того, на какую
величину генеральная средняя будет
отличаться от выборочной средней, то
это может быть прочитано так: с вероятностью
0,683 можно утверждать, что разность между
выборочной и генеральной средними не
превышает одной величины средней ошибки
выборки. Другими словами, в 68,3 % случаев
ошибка репрезентативности не выйдет
за пределыС вероятностью 0,954 можно утверждать,
что ошибка репрезентативности не
превышает(т. е. в 95 % случаев). С вероятностью
0,997, т. е. довольно близкой к единице,
можно ожидать, что разность между
выборочной и генеральной средней не
превзойдет трехкратной средней ошибки
выборки и т. д.

Логически связь
здесь выглядит довольно ясно: чем больше
пределы, в которых допускается
возможная ошибка, тем с большей
вероятностью судят о ее величине.

Зная выборочную
среднюю величину признака
и предельную ошибку выборки,
можно определить границы (пределы),
в которых заключена генеральная
средняя

(7.5)

1.
Собственно-случайная выборка–
этот способ ориентирован на выборку
единиц из генеральной совокупности без
всякого расчленения на части или группы.
При этом для соблюдения основного
принципа выборки – равной возможности
всем единицам генеральной совокупности
быть отобранным – используются схема
случайного извлечения единиц путем
жеребьевки (лотереи) или таблицы случайных
чисел. Возможен повторный и бесповторный
отбор единиц

Средняя ошибка
собственно-случайной выборки
представляет собой среднеквадратическое
отклонение возможных значений выборочной
средней от генеральной средней. Средние
ошибки выборки при собственно-случайном
методе отбора представлены в табл. 7.2.

Таблица 7.2

В таблице
использованы следующие обозначения:

– дисперсия выборочной совокупности;

– численность выборки;

– численность генеральной совокупности;

– выборочная доля единиц, обладающих
изучаемым признаком;

– число единиц, обладающих изучаемым
признаком;

– численность выборки.

Для увеличения
точности вместо множителя
следует
брать множитель
,
но при большой численностиNразличие
между этими выражениями практического
значения не имеет.

Предельная
ошибка собственно-случайной выборки
рассчитывается по формуле

,
(7.6)

где t
– коэффициент доверия зависит от
значения вероятности.

Пример.При
обследовании ста образцов изделий,
отобранных из партии в случайном порядке,
20 оказалось нестандартными. С вероятностью
0,954 определите пределы, в которых
находится доля нестандартной продукции
в партии.

Решение.
Вычислим генеральную долю (Р):
.

Доля нестандартной
продукции:
.

Предельная
ошибка выборочной доли с вероятностью
0,954 рассчитывается по формуле (7.6) с
применением формулы табл. 7.2 для доли:

С вероятностью
0,954 можно утверждать, что доля нестандартной
продукции в партии товара находится в
пределах 12 % ≤ P≤ 28 %.

В практике
проектирования выборочного наблюдения
возникает потребность определения
численности выборки, которая необходима
для обеспечения определенной точности
расчета генеральных средних. Предельная
ошибка выборки и ее вероятность при
этом являются заданными. Из формулы
и формул средних ошибок выборки
устанавливается необходимая численность
выборки. Формулы для определения
численности выборки (n) зависят от
способа отбора. Расчет численности
выборки для собственно-случайной выборки
приведен в табл. 7.3.

Таблица 7.3

2.
Механическая выборка– при этом
методе исходят из учета некоторых
особенностей расположения объектов в
генеральной совокупности, их упорядоченности
(по списку, номеру, алфавиту). Механическая
выборка осуществляется путем отбора
отдельных объектов генеральной
совокупности через определенный интервал
(каждый 10-й или 20-й). Интервал рассчитывается
по отношению,
гдеn– численность выборки,N–
численность генеральной совокупности.
Так, если из совокупности в 500 000 единиц
предполагается получить 2 %-ную выборку,
т. е. отобрать 10 000
единиц, то пропорция отбора составитОтбор
единиц осуществляется в соответствии
с установленной пропорцией через равные
интервалы. Если расположение объектов
в генеральной совокупности носит
случайный характер, то механическая
выборка по содержанию аналогична
случайному отбору. При механическом
отборе применяется только бесповторная
выборка [1, 5–10].

Средняя ошибка
и численность выборки при механическом
отборе подсчитывается по формулам
собственно-случайной выборки (см.
табл. 7.2 и 7.3).

3.
Типическая выборка, при котрой
генеральная совокупность делится по
некоторым существенным признакам на
типические группы; отбор единиц
производится из типических групп. При
этом способе отбора генеральная
совокупность расчленяется на однородные
в некотором отношении группы, которые
имеют свои характеристики, и вопрос
сводится к определению объема выборок
из каждой группы. Может бытьравномерная
выборка– при этом способе из каждой
типической группы отбирается одинаковое
число единицТакой подход оправдан лишь при равенстве
численностей исходных типических групп.
При типическом отборе, непропорциональном
объему групп, общее число отбираемых
единиц делится на число типических
групп, полученная величина дает
численность отбора из каждой типической
группы.

Более совершенной
формой отбора является пропорциональная
выборка. Пропорциональной называется
такая схема формирования выборочной
совокупности, когда численность выборок,
взятых из каждой типической группы в
генеральной совокупности, пропорциональна
численностям, дисперсиям (или комбинированно
и численностям, и дисперсиям). Условно
определяем численность выборки в 100
единиц и отбираем единицы из групп:

– пропорционально
численности их генеральной совокупности
(табл. 7.4). В таблице
обозначено:

N_i– численность типической группы;

d_j
– доля (N_i/N);

N– численность
генеральной совокупности;

n_i– численность выборки из типической
группы вычисляется:

, (7.7)

n – численность выборки из генеральной
совокупности.

Таблица
7.4

Группы	Ni	dj	ni
1	300	0,3	30
2	500	0,5	50
3	200	0,2	20
	1000	1,0	100

–
пропорционально среднему квадратическому
отклонению(табл. 7.5).

здесь
_i– среднее
квадратическое отклонение типических
групп;

n_i
– численность выборки из типической
группы вычисляется по формуле

(7.8)

Таблица
7.5

Ni	i		ni
300	5	0,25	25
500	7	0,35	35
200	8	0,40	40
1000	20	1,0	100

–
комбинированно (табл. 7.6).

Численность
выборки вычисляется по формуле

. (7.9)

Таблица 7.6

	i	iNi
300	5	1500	0,23	23
500	7	2100	0,53	53
200	8	1600	0.24	24
1000	20	6600	1,0	100

При проведении
типической выборки непосредственный
отбор из каждой группы проводится
методом случайного отбора.

Средние ошибки
выборки рассчитываются по формулам
табл. 7.7 в зависимости от способа отбора
из типических групп.

Таблица 7.7

здесь
– средняя из внутригрупповых дисперсий
типических групп;

– доля единиц, обладающих изучаемым
признаком;

– средняя из внутригрупповых дисперсий
для доли;

– среднее квадратическое отклонение
в выборке изi-й типической группы;

– объем выборки из типической группы;

– общий объем выборки;

–
объем типической группы;

– объем генеральной совокупности.

Численность
выборки из каждой типической группы
должна быть пропорциональна среднему
квадратическому отклонению в этой
группе
.Расчет численности
производится по формулам, приведенным
в табл. 7.8.

Таблица 7.8

4. Серийная
выборка– удобена в тех случаях,
когда единицы совокупности объединены
в небольшие группы или серии. При серийной
выборке генеральную совокупность делят
на одинаковые по объему группы – серии.
В выборочную совокупность отбираются
серии. Сущность серийной выборки
заключается в случайном или механическом
отборе серий, внутри которых производится
сплошное обследование единиц. Средняя
ошибка серийной выборки с равновеликими
сериями зависит от величины только
межгрупповой дисперсии. Средние ошибки
сведены в табл. 7.9.

Таблица 7.9

Здесь
R– число серий в генеральной
совокупности;

r – число
отобранных серий;

– межсерийная (межгрупповая) дисперсия
средних;

– межсерийная (межгрупповая) дисперсия
доли.

При серийном
отборе необходимую численность отбираемых
серий определяют так же, как и при
собственно-случайном методе отбора.

Расчет численности
серийной выборки производится по
формулам, приведенным в табл. 7.10.

Таблица 7.10

Пример.В
механическом цехе завода в десяти
бригадах работает 100 рабочих. В целях
изучения квалификации рабочих была
произведена 20 %-ная серийная бесповторная
выборка, в которую вошли две бригады.
Получено следующее распределение
обследованных рабочих по разрядам:

Необходимо
определить с вероятностью 0,997 пределы,
в которых находится средний разряд
рабочих механического цеха.

Решение.
Определим выборочные средние по
бригадам и общую среднюю как среднюю
взвешенную из групповых средних:

Определим
межсерийную дисперсию по формулам
(5.25):

Рассчитаем
среднюю ошибку выборки по формуле табл.
7.9:

Вычислим
предельную ошибку выборки с вероятностью
0,997:

С вероятностью
0,997 можно утверждать, что средний разряд
рабочих механического цеха находится
в пределах

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

From Wikipedia, the free encyclopedia

In statistics, sampling errors are incurred when the statistical characteristics of a population are estimated from a subset, or sample, of that population. Since the sample does not include all members of the population, statistics of the sample (often known as estimators), such as means and quartiles, generally differ from the statistics of the entire population (known as parameters). The difference between the sample statistic and population parameter is considered the sampling error.^[1] For example, if one measures the height of a thousand individuals from a population of one million, the average height of the thousand is typically not the same as the average height of all one million people in the country.

Since sampling is almost always done to estimate population parameters that are unknown, by definition exact measurement of the sampling errors will not be possible; however they can often be estimated, either by general methods such as bootstrapping, or by specific methods incorporating some assumptions (or guesses) regarding the true population distribution and parameters thereof.

Description[edit]

Sampling Error[edit]

The sampling error is the error caused by observing a sample instead of the whole population.^[1] The sampling error is the difference between a sample statistic used to estimate a population parameter and the actual but unknown value of the parameter.^[2]

Effective Sampling[edit]

In statistics, a truly random sample means selecting individuals from a population with an equivalent probability; in other words, picking individuals from a group without bias. Failing to do this correctly will result in a sampling bias, which can dramatically increase the sample error in a systematic way. For example, attempting to measure the average height of the entire human population of the Earth, but measuring a sample only from one country, could result in a large over- or under-estimation. In reality, obtaining an unbiased sample can be difficult as many parameters (in this example, country, age, gender, and so on) may strongly bias the estimator and it must be ensured that none of these factors play a part in the selection process.

Even in a perfectly non-biased sample, the sample error will still exist due to the remaining statistical component; consider that measuring only two or three individuals and taking the average would produce a wildly varying result each time. The likely size of the sampling error can generally be reduced by taking a larger sample.^[3]

Sample Size Determination[edit]

The cost of increasing a sample size may be prohibitive in reality. Since the sample error can often be estimated beforehand as a function of the sample size, various methods of sample size determination are used to weigh the predicted accuracy of an estimator against the predicted cost of taking a larger sample.

Bootstrapping and Standard Error[edit]

As discussed, a sample statistic, such as an average or percentage, will generally be subject to sample-to-sample variation.^[1] By comparing many samples, or splitting a larger sample up into smaller ones (potentially with overlap), the spread of the resulting sample statistics can be used to estimate the standard error on the sample.

In Genetics[edit]

The term «sampling error» has also been used in a related but fundamentally different sense in the field of genetics; for example in the bottleneck effect or founder effect, when natural disasters or migrations dramatically reduce the size of a population, resulting in a smaller population that may or may not fairly represent the original one. This is a source of genetic drift, as certain alleles become more or less common), and has been referred to as «sampling error»,^[4] despite not being an «error» in the statistical sense.

See also[edit]

• Margin of error
• Propagation of uncertainty
• Ratio estimator
• Sampling (statistics)

References[edit]

Ошибки в статистике

Ошибки в статистике (сплошных и выборочных) могут возникнуть ошибки двух видов: репрезентативности и регистрации.

Ошибки репрезентативности характерны только для выборочного наблюдения и возникают в результате того, что выборочная совокупность не полностью воспроизводит генеральную. Они определяются как расхождение между значениями показателей, полученных по выборке, и значениями показателей этих же величин, которые были бы получены при проведенном сплошном наблюдении с одинаковой степенью точности.

Ошибки регистрации могут иметь случайный, систематический и непреднамеренный характер.

Случайные ошибки часто уравновешивают друг друга, так как они не имеют преимущественного направления в сторону преувеличения (преуменьшении) значения изучаемого показателя. Данные ошибки имеют объективный характер и возникают в следствии случайных различий между единицами, попавшими в выборку, и единицами генеральной совокупности. В результате и структуры этих совокупностей чаще всего не совпадают. Научным обоснованием случайных ошибок являются теория вероятностей и ее предельные теоремы.

Систематические ошибки направлены в одну сторону в результате предумышленного нарушения правил отбора. Их можно избежать при правильной организации и проведении наблюдения.

Ошибка выборки в статистике

Ошибка выборки или ошибка репрезентативности определяется как разница между значением показателя, который был получен по выборке, и генеральным параметром. Она характерна только для выборочных наблюдений. Чем больше значение этой ошибки, тем в большей степени выборочные показатели отличаются от соответствующих им генеральных показателей.

Ошибку выборки часто определяют по формулам:

1. Для среднего количественного признака:

где первое — среднее значение признака в генеральной совокупности или генеральная средняя;
второе — выборочная средняя.

2. Для доли (альтернативного признака):

где w — выборочная доля;
р — генеральная доля, или доля единиц, обладающих данным значением признака в общем числе единиц генеральной совокупности.

Ошибки выборки возникают вследствие двух причин из-за нарушения принципа случайности как основного принципа выборки (систематические ошибки) и в результате случайного отбора (случайные ошибки). Выборки являются случайными величинами и могут принимать разные значения.

Источник: Балинова B.C. Статистика в вопросах и ответах: Учеб. пособие. — М.: ТК. Велби, Изд-во Проспект, 2004. — 344 с.

Содержание курса лекций “Статистика”

Выборочное наблюдение как источник статистической информации в изучении социально-экономических явлений и процессов

Статистическая методология исследования массовых явлений различает, как известно, два способа наблюдения в зависимости от полноты охвата объекта: сплошное и несплошное. Разновидностью несплошного наблюдения является выборочное, которое в условиях рыночных отношений в России находит все более широкое применение. Переход статистики РФ на международные стандарты системы национального счетоводства требует более широкого применения выборки для получения и анализа показателей СНС не только в промышленности, но и в других секторах экономики.

Под выборочным наблюдением понимается несплошное наблюдение, при котором статистическому обследованию (наблюдению) подвергаются единицы изучаемой совокупности, отобранные случайным способом. Выборочное наблюдение ставит перед собой задачу ‑ по обследуемой части дать характеристику всей совокупности единиц при условии соблюдения всех правил и принципов проведения статистического наблюдения и науч­но организованной работы по отбору единиц.

К выборочному наблюдению статистика прибегает по различным причинам. На современном этапе появилось множество субъектов хозяйствен­ной деятельности, которые характерны для рыночной экономики. Речь идет об акционерных обществах, малых и совместных предприятиях, фермерских хозяйствах и т.д. Сплошное обследование этих статистических совокупностей, состоящих из десятков и сотен тысяч единиц, потребовало бы огромных материальных, финансовых и иных затрат. Использование же выборочного обследования позволяет значительно сэкономить силы и средства, что имеет немаловажное значение.

Наряду с экономией ресурсов одной из причин превращения выборочного наблюдения в важнейший источник статистической информации является возможность значительно ускорить получение необходимых данных. Ведь при обследовании, скажем, 10% единиц совокупности будет затрачено гораздо меньше времени, а результаты могут быть представлены быстрее, и будут более актуальными. Фактор времени важен для статисти­ческого исследования особенно в условиях изменяющейся социально-экономической ситуации.

Реализация выборочного метода базируется на понятиях генеральной и выборочной совокупностей.

Генеральной совокупностью называется вся исходная изучаемая статистическая совокупность, из которой на основе отбора единиц или групп единиц формируется совокупность выборочная. Поэтому генеральную совокупность также называют основой выборки.

Отбор единиц в выборочную совокупность может быть повторным или беспо­вторным.

При повторном отборе попавшая в выборку единица подвергается обследованию, т.е. регистрации значений ее признаков, возвращается в генеральную совокупность и наравне с другими единицами участвует в дальнейшей процедуре отбора. Таким образом, некоторые единицы могут попадать в выборку дважды, трижды или даже большее число раз. И при изучении выборочной совокупности они будут рассматриваться как отдельные независимые наблюдения.

Отметим, что число единиц генеральной совокупности, участвующих в отборе, при таком подходе остается постоянным. Поэтому вероятность попадания в выборку для всех единиц совокупности на протяжении всего процесса отбора также не меняется.

На практике методология повторного отбора обычно используется в тех случаях, когда объем генеральной совокупности не известен и теоретически возможно повторение единиц с уже встречавшимися значениями всех регистрируемых признаков.

Например, при проведении маркетинговых исследований мы не можем сколько-нибудь точно оценить, какое число потребителей предпочитают стиральный порошок конкретной торговой марки, сколько покупателей предпочитают делать покупки именно в данном супермаркете и т.д. Поэтому возможно повторение совершенно идентичных единиц как по причине практически неограниченных объемов совокупности, так и вследствие возможной повторной регистрации. Предположим, при проведении обследования один и тот же покупатель может дважды прийти в магазин и дважды подвергнуться обследованию.

При выборочном контроле качества продукции объем генеральной совокупности также часто не определен, так как процесс производства может осуществляться постоянно, каждый день дополняя генеральную совокупность новыми единицами-изделиями. Поэтому в выборочную совокупность могут попасть два и более изделий с абсолютно одинаковыми характеристиками. Следовательно, и в этом случае при обработке результатов выборки необходимо ориентироваться на методологию, используемую при повторном отборе.

При бесповоротном отборе попавшая в выборку единица подвергается обследова­нию и в дальнейшей процедуре отбора не участвует. Такой отбор целесообразен и практически возможен в тех случаях, когда объем генеральной совокупности четко определен. Получаемые при этом результаты, как правило, являются более точными по сравнению с результатами, основанными на повторной выборке.

Как уже отмечалось выше, выборочное наблюдение всегда связано с определенны­ми ошибками получаемых характеристик. Эти ошибки называются ошибками репрезента­тивности (представительности).

Ошибки репрезентативности обусловлены тем обстоятельством, что выборочная совокупность не может по всем параметрам в точности воспроизвести совокупность генеральную. Получаемые расхождения или ошибки репрезентативности позволяют заключить, в какой степени попавшие в выборку единицы могут представлять всю генеральную совокупность. При этом следует различать систематические и случайные ошибки репре­зентативности.

Систематические ошибки репрезентативности связаны с нарушением принципов формирования выборочной совокупности. Например, вследствие каких-либо причин, связанных с организацией отбора, в выборку попали единицы, характеризующиеся несколько большими или, наоборот, несколько меньшими по сравнению с другими единицами значениями наблюдаемых признаков. В этом случае и рассчитанные выборочные характеристики будут завышенными или заниженными.

Случайные ошибки репрезентативности обусловлены действием случайных факторов, не содержащих каких-либо элементов системности в направлении воздействия на рассчитываемые выборочные характеристики. Но даже при строгом соблюдении всех принципов формирования выборочной совокупности выборочные и генеральные характе­ристики будут несколько различаться. Получаемые случайные ошибки могут быть стати­стически оценены и учтены при распространении результатов выборочного наблюдения на всю генеральную совокупность. Оценка ошибок выборочного наблюдения основана на теоремах теории вероятностей.

При дальнейшем рассмотрении теории и методов выборочного наблюдения используются следующие общепринятые условные обозначения:

    N ‑ объем (число единиц) генеральной совокупности;

    n ‑ объем (число единиц) выборочной совокупности;

 ‑ генеральная средняя, т.е. среднее значение изучаемого признака по генераль­ной совокупности (средняя прибыль, средняя величина активов, средняя численность ра­ботников предприятия и т.п.);

‑ выборочная средняя,
т.е. среднее значение изучаемого признака по выборочной совокупности;
 

     М ‑ численность единиц генеральной совокупности, обладающих определенным вариантом или вариантами изучаемого признака (численность городского населения, численность сельского населения, количество бракованных изделий, число нерентабельных предприятий и т.п.);

     р ‑ генеральная доля, т.е. доля единиц, обладающих определенным вариантом или вариантами изучаемого признака, во всей генеральной совокупности (доля городского населения в общей численности населения, доля бракованной продукции в общем выпуске, доля нерентабельных предприятий в общей численности предприятий и т.п.); определяетcя как

     m ‑ численность единиц выборочной совокупности, обладающих определенным вариантом или вариантами изучаемого признака;

     w ‑ выборочная доля, т.е. доля единиц, обладающих определенным вариантом или вариантами изучаемого признака, в выборочной совокупности,

определяется как ;

‑ средняя ошибка выборки;

‑ предельная ошибка выборки;

‑ коэффициент доверия, определяемый в зависимости от уровня вероятности.

Ошибка выборки или отклонение выборочной средней от средней генеральной находится в прямой зависимости от дисперсии изучаемого признака в генеральной совокуп­ности, и в обратной зависимости ‑ от объема выборки.

Таким образом среднюю ошибку выборки можно представить как

(10.1)

При проведении выборочного наблюдения дисперсия изучаемого признака в генеральной совокупности, как правило, не известна. В то же время, между генеральной дисперсией и средней из всех возможных выборочных дисперсий существует следующее соотношение:

(10.2)

В связи с тем, что на практике в большинстве случаев из генеральной совокупности в определенный момент времени производится только одна выборка, дисперсия изучаемого признака по этой выборке и используется при расчете ошибки.

Учитывая, что при достаточно большом объеме выборки отношение  близко к 1, формула средней ошибки повторной выборки принимает следующий вид:

(10.3)

Где  ‑ дисперсия изучаемого признака по выборочной совокупности.

При определении возможных границ значений характеристик генеральной сово­купности рассчитывается предельная ошибка выборки, которая зависит от величины ее средней ошибки и уровня вероятности, с которым гарантируется, что генеральная средняя не выйдет за указанные границы.

Согласно теореме А.М. Ляпунова, вероятность той или иной величины предельной ошибки, при достаточно большом объеме выборочной сово­купности, подчиняется нормальному закону распределения и может быть определена на основе интеграла Лапласа.

Значения интеграла Лапласа при различных величинах t табулированы и представ­лены в статистических справочниках.

При обобщении результатов выборочного наблюдения наиболее часто используются следующие уровни вероятности и соответствующие им значения t:

Таблица 10.1 ‑ !!!Некоторые значения t

Например, если при расчете предельной ошибки выборки мы используем значение t=2, то с вероятностью 0,954 можно утверждать, что расхождение между выборочной средней и генеральной средней не превысит двукратной величины средней ошибки вы­борки.

Теоретической основой для определения границ генеральной доли, т.е. доли еди­ниц, обладающих тем или иным вариантом признака, является теорема Вернули. Согласно данной теореме вероятность получения сколь угодно малого расхождения между выборочной долей и генеральной долей при достаточно большом объеме выборки будет стремиться к единице. С учетом того, что вероятность расхождения между выборочной и генеральной долями подчиняется нормальному закону распределения, эта вероятность также определяется по функции F(t) при заданном значении t.

Процесс подготовки и проведения выборочного наблюдения включает ряд после­довательных этапов:

1. Определение цели обследования.
2. Установление границ генеральной совокупности.
3. Составление программы наблюдения и программы разработки данных
4. Определение вида выборки, процента отбора и метода отбора
5. Отбор и регистрация наблюдаемых признаков у отобранных единиц.
6. Насчет выборочных характеристик и их ошибок.
7. Распространение полученных результатов на генеральную совокупность.
   

   ---

   ---

В зависимости от состава и структуры генеральной совокупности выбирается вид выборки или способ отбора.

К наиболее распространенным на практике видам относятся:

• собственно-случайная (простая случайная) выборка;
• механическая (систематическая) выборка;
• типическая (стратифицированная, расслоенная) выборка;
• серийная (гнездовая) выборка.
  

  ---

  ---

Отбор единиц из генеральной совокупности может быть комбинированным, много­ступенчатым и многофазным.

Комбинированный отбор предполагает объединение нескольких видов выборки. Так, например, можно комбинировать типическую и серийную, серийную и собственно-случайную выборки. Ошибка такой выборки определяется ступенчатостью отбора.

Многоступенчатым называется отбор, при котором из генеральной совокупности сначала извлекаются укрупненные группы, потом ‑ более мелкие и так до тех пор, пока не будут отобраны те единицы, которые подвергаются обследованию.

Многофазная выборка, в отличие от многоступенчатой, предполагает сохранение одной и той же единицы отбора на всех этапах его проведения; при этом отобранные на каждой стадии единицы подвергаются обследованию, каждый раз – по более расширенной программе.

Собственно-случайная (простая случайная) выборка заключается в отборе единиц из генеральной совокупности наугад или наудачу без каких-либо элементов системности.

Однако прежде чем производить собственно-случайный отбор, необходимо убедиться, что все без исключения единицы генеральной совокупности имеют абсолютно равные шансы попадания в выборку, в списках или перечне отсутствуют пропуски, игнорирования отдельных единиц и т.п. Следует также установить четкие границы генеральной сово­купности таким образом, чтобы включение или не включение в нее отдельных единиц не вызывало сомнений. Так, например, при обследовании студентов необходимо указать, будут ли приниматься во внимание лица, находящиеся в академическом отпуске, студенты негосударственных вузов, военных училищ и т.п.; при обследовании торговых предприятий важно определиться, включит ли генеральная совокупность торговые павильоны, коммерческие палатки и прочие подобные объекты.

Технически собственно-случайный отбор проводят методом жеребьевки или по таблице случайных чисел.

Расчет ошибок позволяет решить одну из главных проблем организации выборочного наблюдения – оценить репрезентативность (представительность) выборочной совокупности.

Различают среднюю и предельную ошибки выборки. Эти два вида связаны следующим соотношением:

(10.4)

Величина средней ошибки выборки рассчитывается дифференциро­ванно в зависимости от способа отбора и процедуры выборки.

Так, при собственно-случайном повторном отборе средняя ошибка определяется по формуле:

(10.5)

а при расчете средней ошибки  собственно-случайной бесповторной выборки:

(10.6)

Расчет средней и предельной ошибок выборки позволяет определить возможные пределы, в которых будут находиться характеристики генеральной совокупности.

Например, для выборочной средней такие пределы устанавливаются на основе следующих соотношений:

(10.7)

где  и ‑ генеральная и выборочная средняя соответственно;

‑ предельная ошибка выборочной средней.

Пример.

При проверке веса импортируемого груза на таможне методом случайной повторной выборки было отобрано 200 изделий. В результате был установлен средний вес изделия 30 г. при среднем квадратическом отклонении 4 г. С вероятностью 0,997 определите пределы, в которых находится средний вес изделия в генеральной совокупности.

Решение. Рассчитаем сначала предельную ошибку выборки. Так как при р = 0,997, t = 3, она равна:

Определим пределы генеральной средней:

или

Вывод: Следовательно, с вероятностью 0,997 можно утверждать, что средний вес изделий в генеральной совокупности находится в пределах от 29,16 г. до 30,84 г.

Пример 2.

В городе проживает 250 тыс. семей. Для определения среднего числа детей в семье была организована 2%-ная случайная бесповторная выборка семей. По ее результатам было получено следующее распре­деление семей по числу детей:

Таблица 10.2 ‑ Распределение семей по числу детей в городе N

С вероятностью 0,954 определите пределы, в которых будет находить­ся среднее число детей в генеральной совокупности.

Решение. В начале на основе имеющегося распределения семей определим выборочные среднюю и дисперсию:

Таблица 10.3 ‑ Вспомогательная таблица для расчета среднего числа детей

Число детей в семье, х;	Количество семей,     f
0 1 2 3 4 5	1000 2000 1200 400 200 200	0 2000 2400 1200 800 1000	-1,5 -0,5 0,5 1,5 2,5 3,5	2,25 0,25 0,25 2,25 6,25 12,25	2250 500 300 900 1250 2450
Итого	5000	7400	–	–	7650

Вычислим теперь предельную ошибку выборки (с учетом того, что при р = 0,954 t = 2).

Следовательно, пределы генеральной средней:

Таким образом, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что среднее число детей в семьях города практически не отличается от 1,5, т.е. в среднем на каждые две семьи приходится три ребенка.

Наряду с определением ошибок выборки и пределов для генеральной средней эти же показатели могут быть определены для доли признака.

В этом случае особенности расчета связаны с определением дисперсии доли, которая вычисляется так:

(10.8)

где  ‑ доля единиц, обладающих данным признаком в выборочной совокупности, определяемая как отношение количества соответствующих единиц к объему выборки.

Тогда, например, при собственно-случайном повторном отборе для определения предельной ошибки выборки используется следующая формула:

(10.9)

Соответственно, при бесповторном отборе:

(10.10)

Пределы доли признака в генеральной совокупности p выглядят следующим образом:

(10.11)

Рассмотрим пример.

С целью определения средней фактической продолжитель­ности рабочего дня в государственном учреждении с численностью слу­жащих 480 человек, в январе 2009 г. было проведена 25%-ная случайная бесповторная выборка. По результатам наблюдения оказалось, что у 10% обследованных потери времени достигали более 45 мин. в день. С вероят­ностью 0,683 установите пределы, в которых находится генеральная доля служащих с потерями рабочего времени более 45 мин. в день.

Решение. Определим объем выборочной совокупности:

n= 480 х 0,25 = 120 чел.

Выборочная доля w равна по условию 10%.

Учитывая, что при р = 0,683   t=1, вычислим предельную ошибку выборочной доли:

Пределы доли признака в генеральной совокупности:

Таким образом, с вероятностью 0,683 можно утверждать, что доля ра­ботников учреждения с потерями рабочего времени более 45 мин. в день находится в пределах от 7,6% до 12,4%.

Мы рассмотрели определение границ генеральной средней и генеральной доли по результатам уже проведенного выборочного наблюдения, при известном объеме выборки или проценте отбора. На этапе же проектирования выборочного наблюдения именно объ­ем выборочной совокупности и требует определения.

Для определения необходимого объема собственно-случайной повторной выборки применяют следующую формулу:

(10.12)

Полученный на основе использования данной формулы результат всегда округляется в большую сторону. Например, если мы получили, что необходимый объем выборки составляет 493,1 единицы, то обследовав 493 единицы мы не достигнем требуемой точности. Поэтому, для достижения желаемого результата обследованием должны быть охвачены 494 единицы.

С другой стороны, рассчитанное значение необходимого объема выборки свободно может быть увеличено в большую сторону на несколько единиц. Если мы располагаем необходимыми ресурсами, если по причинам организационного порядка (компактность расположения единиц, фиксированная нагрузка на каждого регистратора и т.п.) мы вполне можем охватить больший объем, то включение в выборочную совокуп­ность 500 или, например, 550 единиц только уменьшит значения полученных случайной и предельной ошибок.

При определении необходимого объема выборки для определения границ генеральной доли задача оценки вариации решается значительно проще. Если дисперсия изучаемого альтернативного признака неизвестна, то можно использовать ее максимальное возможное значение:

Например, предприятию связи с вероятностью 0,954 необходимо определить удельный вес телефонный разговоров продолжительностью менее 1 минуты с предельной ошибкой 2%. Сколько разговоров нужно обследовать в порядке собственно-случайного повторного отбора для решения этой задачи?

Для получения ответа на поставленный вопрос воспользуемся формулой (10.12) и будем ориентироваться на максимальную возможную дисперсию доли телефонных разговоров такой продолжительности. Расчет приводит к следующему результату:

Таким образом, обследованием должны быть охвачены не менее 2500 разговоров на предмет их продолжительности.

Необходимый объем собственно-случайной бесповторной выборки может быть определен по следующей формуле:

(10.13)

Укажем на одну особенность формулы (10.13). При проведении вычислений объем генеральной совокупности должен быть выражен только в единицах, а не в тысячах или в миллионах единиц.

Например, подставив в данную формулу общую численность населения региона, выраженную в тысячах человек, мы не получим правильное значение необходимой численности выборки, также выраженное в тысячах человек, как это иногда бывает в других расчетах. Результат вычислений будет неверен.

Механическая выборка может быть применена в тех случаях, когда генеральная совокупность каким-либо образом упорядочена, т.е. имеется определенная последова­тельность в расположении единиц (табельные номера работников, списки избирателей, телефонные номера респондентов, номера домов и квартир и т.п.). Для проведения отбора желательно, чтобы все единицы также имели порядковые номера от 1 до N.

Для проведения механической выборки устанавливается пропорция отбора, которая определяется соотнесением объемов выборочной и генеральной совокупностей.

Так, если из совокупности в 500000 единиц предполагается отобрать 10000 единиц, то пропорция отбора составит

Отбор единиц осуществляется в соответствии с установленной пропорцией через равные интервалы.

Например, при пропорции 1:50 (2%-ная выборка) отбирается каждая 50-я единица, при пропорции 1:20 (5%-ная выборка) – каждая 20-я единица и т.д.

Интервал отбора также можно определить как частное от деления 100% на уста­новленный процент отбора.

Так, например  при 2%-ном отборе интервал составит 50 (100%:2%), при 4%-ном отборе ‑ 25 (100%:4%). В тех случаях, когда результат деления получается дробным, сформировать выборку механическим способом при строгом соблюдении процента отбора не представляется возможным.

Например, по этой причине нельзя сформировать 3%-ную или 6%-ную выборки.

Генеральную совокупность при механическом отборе можно ранжировать или упорядочить по величине изучаемого или коррелирующего с ним признака, что позволит повысить репрезентативность выборки. Однако в этом случае возрастает опасность систе­матической ошибки, связанной с занижением значений изучаемого признака (если из каждого интервала регистрируется первое значение) или его завышением (если из каждого интервала регистрируется последнее значение). Поэтому целесообразно из каждого интервала отбирать центральную или одну из двух центральных единиц.

Например, при 5%-ной выборке интервал отбора составит 20 единиц, тогда отбор целесообразно начинать с 10-й или с 11-й единицы. В первом случае в выборку попадут 10, 30, 50, 70 и с таким же интервалом последующие единицы; во втором случае – единицы с номерами 11,31,51,71 и т.д.

При механической выборке также может появиться опасность систематической ошибки, обусловленной случайным совпадением выбранного интервала и циклических закономерностей в расположении единиц генеральной совокупности. Так, при переписи населения 1989 г. в ходе 25%-го выборочного обследования семей имела место опасность попадания в выборку квартир только одного типа (например, только однокомнатных или только трехкомнатных), так как на лестничных площадках многих типовых домов распо­лагаются именно по 4 квартиры. Чтобы избежать систематической ошибки, в каждом новом подъезде счетчик менял начало отбора.

Для определения средней ошибки механической выборки, а также необходимой ее численности, используются соответствующие формулы, применяемые при собственно-случайном бесповторном отборе(10.6 и 10.13). При этом, определив необходимую численность выборки и сопоставив ее с объемом генеральной совокупности, как правило, приходится производить соответствующее округление для получения целочисленного интервала отбора.

Например, в области зарегистрировано 12000 фермерских хозяйств. Определим, сколько из них нужно отобрать в порядке механического отбора для определения средней площади сельхозугодий с ошибкой ± 2 га. (Р=0,997). По результатам ранее проведенного обследования известно, что среднее квадратическое отклонение площади сельхозугодий составляет 8 га. Произведем расчет, воспользовавшись формулой (10.13).

С учетом полученного необходимого объема выборки (143 фермерских хозяйства) определим интервал отбора: 12000:143=83,9.

Определенный таким способом интервал всегда округляется в меньшую сторону, так как при округлении в большую сторону про­изведенная выборка не достигнет рассчитанного по формуле необходимого объема.

Сле­довательно, в нашем примере, из общего списка фермерских хозяйств необходимо отобрать для обследования каждое 83-е хозяйство. При этом процент отбора составит 1,2% (100% : 83).

Типический отбор целесообразно использовать в тех случаях, когда все единицы генеральной совокупности объединены в несколько крупных типических групп.. Такие группы также называют стартами или слоями, в связи с чем типический отбор также называют стратифицированным или расслоенным. При обследованиях населения в качестве типических групп могут быть выбраны области, районы, социальные, возрастные или об­разовательные группы, при обследовании предприятий – отрасли или подотрасли, формы собственности и т.п.

Рассматривать генеральную совокупность в разрезе нескольких крупных групп единиц имеет смысл только в том случае, если средние значения изучаемых признаков по группам существенно различаются. Например, с большой уверенностью можно предпо­ложить, что доходы населения крупного города будут в среднем выше доходов населения, проживающего в сельской местности; численность работников промышленного предприятия в среднем будет выше численности работников торгового или сельскохозяйственного предприятия; средний возраст студентов будет значительно меньше среднего возраста занятого населения и, тем более, пенсионеров. В то же время, нет никакого смысла при выделении типических групп ориентироваться на признак, не связанный или очень слабо связанный с изучаемым.

Отбор единиц в выборочную совокупность из каждой типической группы осущест­вляется собственно-случайным или механическим способом. Поскольку в выборочную совокупность в той или иной пропорции обязательно попадают представители всех групп, типизация генеральной совокупности позволяет исключить влияние межгрупповой дисперсии на среднюю ошибку выборки. В то же время, в выделенных типических группах обследуются далеко не все единицы, а только включенные в выборку. Следовательно, на величине полученной ошибки будет сказываться различие между единицами внутри этих групп, т.е. внутригрупповая вариация. Поэтому, ошибка типической выборки будет опре­деляться величиной не общей дисперсии, а только ее части – средней из внутригрупповых дисперсий.

При типической выборке, пропорциональной объему типических групп, число еди­ниц, подлежащих отбору из каждой группы, определяется следующим образом:

 (10.14)

Где N_i – объем i-ой группы. а n_i ‑ объем выборки из i-ой группы.

Пример. Предположим, общая численность населения области составляет 1,5 млн. чел., в том числе городское – 900 тыс. чел. и сельское – 600 тыс. чел. Если в ходе выборочного наблюдения планируется обследовать 100 тыс. жителей, то эта численность должна быть поделена пропорционально объему типических групп следующим образом:

Средняя ошибка типической выборки определяется по формулам:

(10.15)

                                                   (10.16)

где  – средняя из внутригрупповых дисперсий.

При выборке, пропорциональной дифференциации признака, число наблюдений по каждой группе рассчитывается по формуле:

(10.17)

Где ‑ среднее отклонение признака в i-ой группе.

Cредняя ошибка такого отбора определяется следующим образом:

(10.18)

(10.19)

Отбор, пропорциональный дифференциации признака, дает лучшие результаты, однако на практике его применение затруднено вследствие трудности получения сведений о вариации до проведения выборочного наблюдения.

Таблица 10.4 ‑ Результаты обследования рабочих предприятия

Рассмотрим оба варианта типической выборки на условном примере. Предположим, 10% бесповторный типический отбор рабочих предприятия, пропорциональный размерам цехов, проведенный с целью оценки потерь из-за временной нетрудоспособности, привел к следующим результатам (табл. 10.4)

Рассчитаем среднюю из внутригрупповых дисперсий:

Определим  среднюю  и  предельную  ошибки  выборки  (с  вероятностью 0,954):

Рассчитаем выборочную среднюю:

С вероятностью 0,954 можно сделать вывод, что среднее число дней временной нетрудоспособности одного рабочего в целом по предприятию находится в пределах:

Воспользуемся полученными внутригрупповыми дисперсиями для проведения отбора пропорционального дифференциации признака. Опре­делим необходимый объем выборки по каждому цеху:

С учетом полученных значений рассчитаем среднюю ошибку выборки:

В данном случае средняя, а следовательно, и предельная ошибки будут несколько меньше, что отразится и на границах генеральной средней.

Серийный отбор. Данный способ отбора удобен в тех случаях, когда единицы совокупности объединены в небольшие группы или серии. В качестве таких серий могут рассматриваться упаковки с определенным количеством готовой продукции, партии товара, студенческие группы, бригады и другие объединения. Сущность серийной выборки заключается в собственно-случайном или механическом отборе серий, внутри которых произ­водится сплошное обследование единиц.

Поскольку внутри групп (серий) обследуются все без исключения единицы, средняя ошибка серийной выборки (при отборе равновеликих серий) зависит от величины только межгрупповой (межсерийной) дисперсии и определяется по следующим формулам:

(10.20)

(10.21)

Где r ‑ число отобранных серий; R ‑ общее число серий.

Межгрупповую дисперсию вычисляют следующим образом:

 (10.22)

где  ‑ средняя i-й серии;

‑ общая средняя по всей выборочной совокупности.

Пример.

В области, состоящей из 20 районов, проводилось выборочное обследование урожайности на основе отбора серий (районов). Выбо­рочные средние по районам составили соответственно 14,5 ц/га; 16 ц/га; 15,5 ц/га; 15 ц/га и 14 ц/га. С вероятностью 0,954 определите пределы урожайности во всей области.

Решение. Рассчитаем общую среднюю:

Межгрупповая (межсерийная) дисперсия равна:

Определим теперь предельную ошибку серийной бесповторной выборки (t = 2 при р = 0,954):

Вывод: Следовательно, урожайность будет с вероятностью 0,954 находиться в пределах:

Определение необходимого объема выборки

При проектировании выборочного наблюдения возникает вопрос о необходимой численности выборки. Эта численность может быть определена на базе допустимой ошибки при выборочном наблюдении, исходя из вероятности, на основе которой можно гарантировать величину устанавливае­мой ошибки, и, наконец, на базе способа отбора.

Формулы необходимого объема выборки для различных способов формирования выборочной совокупности могут быть выведены из соот­ветствующих соотношений, используемых при расчете предельных ошибок выборки. Приведем наиболее часто применяемые на практике выражения необходимого объема выборки:

– собственно-случайная и механическая выборка:

– типическая выборка:

 – серийная выборка:

При этом в зависимости от целей исследования дисперсии и ошибки выборки могут быть рассчитаны для средней величины или доли признака.

Рассмотрим примеры определения необходимого объема выборки при различных способах формирования выборочной совокупности.

Пример.

В 100 туристических агентствах города предполагается провести обследование среднемесячного количества реализованных путевок методом механического отбора. Какова должна быть численность вы­борки, чтобы с вероятностью 0,683 ошибка не превышала 3 путевок, если по данным пробного обследования дисперсия составляет 225.

Решение. Рассчитаем необходимый объем выборки:

Пример.

С целью определения доли сотрудников коммерческих банков области в возрасте старше 40 лет предполагается организовать типическую выборку пропорциональную численности сотрудников мужского и женского пола с механическим отбором внутри групп. Общее число сотрудников банков составляет 12 тыс. чел., в том числе 7 тыс. мужчин и 5 тыс. женщин.

На основании предыдущих обследований известно, что средняя из внутригрупповых дисперсий составляет 1600. Определите необходимый объем выборки при вероятности 0,997 и ошибке 5%.

Решение. Рассчитаем общую численность типической выборки:

Вычислим теперь объем отдельных типических групп:

Вывод: Таким образом, необходимый объем выборочной совокупности сотрудников банков составляет 550 чел., в т.ч. 319 мужчин и 231 женщина.

Пример.

В акционерном обществе 200 бригад рабочих. Планируется проведение выборочного обследования с целью определения удельного ве­са рабочих, имеющих профессиональные заболевания. Известно, что межсерийная дисперсия доли равна 225. С вероятностью 0,954 рассчитайте необходимое количество бригад для обследования рабочих, если ошибка вы­борки не должна превышать 5%.

Решение. Необходимое количество бригад рассчитаем на основе формулы объема серийной бесповторной выборки:

Содержание курса лекций “Статистика”

Контрольные задания

Самостоятельно проведите выборочное наблюдение и произведите соответствующие расчеты.