Что такое ошибка округления и когда она возникает - Oshibki.top - большая энциклопедия ошибок и их решений

Что такое ошибка округления?

Ошибка округления или ошибка округления — это математический просчет или ошибка квантования, вызванная изменением числа на целое или на число с меньшим количеством десятичных знаков. По сути, это разница между результатом математического алгоритма, использующего точную арифметику, и того же алгоритма, использующего несколько менее точную округленную версию того же числа или чисел. Значимость ошибки округления зависит от обстоятельств.

Хотя в большинстве случаев ошибка округления достаточно несущественна, чтобы ее игнорировать, она может иметь кумулятивный эффект в современной компьютеризированной финансовой среде, и в этом случае ее, возможно, придется исправить. Ошибка округления может быть особенно проблематичной, когда округленный ввод используется в серии вычислений, что приводит к увеличению ошибки, а иногда и к перевесу вычислений.

Термин «ошибка округления» также иногда используется для обозначения суммы, несущественной для очень большой компании.

Как работает ошибка округления

В финансовых отчетах многих компаний регулярно содержится предупреждение о том, что «цифры могут не совпадать из-за округления». В таких случаях очевидная ошибка вызвана только особенностями финансовой таблицы и не требует исправления.

Пример ошибки округления

Например, рассмотрим ситуацию, когда финансовое учреждение по ошибке округляет процентные ставки по ипотечным кредитам в конкретном месяце, в результате чего с его клиентов взимаются процентные ставки в размере 4% и 5% вместо 3,60% и 4,70% соответственно. В этом случае ошибка округления может затронуть десятки тысяч клиентов, а величина ошибки приведет к тому, что учреждение понесет сотни тысяч долларов расходов на исправление транзакций и исправление ошибки.

Бурный рост больших данных и связанных с ними передовых приложений для анализа данных только увеличил вероятность ошибок округления. Часто ошибка округления возникает случайно; это по своей природе непредсказуемо или иным образом трудно контролировать — отсюда и множество проблем, связанных с «чистыми данными» из больших данных. В других случаях ошибка округления возникает, когда исследователь по незнанию округляет переменную до нескольких десятичных знаков.

Классическая ошибка округления

Классический пример ошибки округления включает историю Эдварда Лоренца. Примерно в 1960 году профессор Массачусетского технологического института Лоренц ввел числа в раннюю компьютерную программу, моделирующую погодные условия. Лоренц изменил одно значение с.506127 на.506. К его удивлению, это крошечное изменение радикально изменило всю схему, созданную его программой, что повлияло на точность моделирования погодных условий за более чем два месяца.

Неожиданный результат привел Лоренца к глубокому пониманию того, как работает природа: небольшие изменения могут иметь большие последствия. Идея стала известна как «эффект бабочки» после того, как Лоренц предположил, что взмах крыльев бабочки может в конечном итоге вызвать торнадо. А эффект бабочки, также известный как «чувствительная зависимость от начальных условий», имеет важное следствие: прогнозирование будущего может быть почти невозможным. Сегодня более элегантная форма эффекта бабочки известна как теория хаоса. Дальнейшие расширения этих эффектов признаны в исследовании фракталов и «случайности» финансовых рынков Бенуа Мандельброта.

Источник

Ошибки округления

Даже
если предположить, что исходная информация
не содержит никаких ошибок и все
вычислительные процессы конечны и не
приводят к ошибкам ограничения, то все
равно в этом случае присутствует третий
тип ошибок – ошибки округления.
Предположим, что вычисления производятся
на машине, в которой каждое число
представляется 5-ю значащими цифрами,
и что необходимо сложить два числа
9.2654 и 7.1625, причем эти два числа являются
точными. Сумма их равна 16.4279, она содержит
6 значащих цифр и не помещается в разрядной
сетке нашей гипотетической машины.
Поэтому 6-значный результат будет
округлен
до 16.428, и при этом возникает ошибка
округления.
Так как компьютеры всегда работают с
конечным числом значащих цифр, то
потребность в округлении возникает
довольно часто.

Вопросы
округления относятся только к
действительным числам. При выполнении
операций с целыми числами потребность
в округлении не возникает. Сумма, разность
и произведение целых чисел сами являются
целыми числами; если результат слишком
велик, то это свидетельствует об ошибке
в программе. Частное от деления двух
целых чисел не всегда является целым
числом, но при делении целых чисел
дробная часть отбрасывается.

Абсолютная и относительная погрешности

Допустим,
что точная ширина стола – А=384 мм, а мы,
измерив ее, получили а=381 мм. Модуль
разности между точным значением
измеряемой величины и ее приближенным
значением называется абсолютной
погрешностью
.
В данном примере абсолютная погрешность
3 мм. Но на практике мы никогда не знаем
точного значения измеряемой величины,
поэтому не можем точно знать абсолютную
погрешность.

Но
обычно мы знаем точность измерительных
приборов, опыт наблюдателя, производящего
измерения и т.д. Это дает возможность
составить представление об абсолютной
погрешности измерения. Если, например,
мы рулеткой измеряем длину комнаты, то
нам нетрудно учесть метры и сантиметры,
но вряд ли мы сможем учесть миллиметры.
Да в этом и нет надобности. Поэтому мы
сознательно допускаем ошибку в пределах
1 см. абсолютная погрешность длины
комнаты меньше 1 см. Измеряя длину
какого-либо отрезка миллиметровой
линейкой, мы имеем право утверждать,
что погрешность измерения не превышает
1 мм.

Абсолютная
погрешность _а
приближенного числа а дает возможность
установить границы, в которых лежит
точное число А:

Абсолютная
погрешность не является достаточным
показателем качества измерения и не
характеризует точность вычислений или
измерений. Если известно, что, измерив
некоторую длину, мы получили абсолютную
погрешность в 1 см, то никаких заключений
о том, хорошо или плохо мы измеряли,
сделать нельзя. Если мы измеряли длину
карандаша в 15 см и ошиблись на 1 см, наше
измерение никуда не годится. Если же мы
измеряли 20-метровый коридор и ошиблись
всего на 1 см, то наше измерение – образец
точности. Важна
не только сама абсолютная погрешность,
но и та доля, которую она составляет от
измеренной величины.
В первом примере абс. погрешность 1 см
составляет 1/15 долю измеряемой величины
или 7%, во втором – 1/2000 или 0.05%. Второе
измерение значительно лучше.

Относительной
погрешностью называют отношение
абсолютной погрешности к абсолютному
значению приближенной величины:

В
отличие от абсолютной погрешности,
которая обычно есть величина размерная,
относительная погрешность всегда есть
величина безразмерная. Обычно ее выражают
в %.

Пример

При измерении
длины в 5 см допущена абсолютная
погрешность в 0.1 см. Какова относительная
погрешность? (Ответ 2%)

При
подсчете числа жителей города, которое
оказалось равным 2000000,
допущена
погрешность 100 человек. Какова относительная
погрешность? (Ответ
0.005%)

Результат
всякого измерения выражается числом,
лишь приблизительно характеризующим
измеряемую величину. Поэтому при
вычислениях мы имеем дело с приближенными
числами. При записи приближенных чисел
принимается, что последняя цифра справа
характеризует величину абсолютной
погрешности.

Например,
если записано 12.45, то это не значит, что
величина, характеризуемая этим числом,
не содержит тысячных долей. Можно
утверждать, что тысячные доли при
измерении не учитывались, следовательно,
абсолютная погрешность меньше половины
единицы последнего разряда:
.
Аналогично, относительно приближенного
числа 1.283, можно сказать, что абсолютная
погрешность меньше 0.0005:.

Приближенные
числа принято записывать так, чтобы
абсолютная погрешность не превышала
единицы последнего десятичного разряда.
Или, иначе говоря, абсолютная
погрешность приближенного числа
характеризуется числом десятичных
знаков после запятой.

Как же
быть, если при тщательном измерении
какой-нибудь величины получится, что
она содержит целую единицу, 2 десятых,
5 сотых, не содержит тысячных, а
десятитысячные не поддаются учету? Если
записать 1.25, то в этой записи тысячные
не учтены, тогда как на самом деле мы
уверены, что их нет. В таком случае
принято ставить на их месте 0, – надо
писать 1.250. Таким образом, числа 1.25 и
1.250 обозначают не одно и то же. Первое –
содержит тысячные; мы только не знаем,
сколько именно. Второе – тысячных не
содержит, о десятитысячных ничего
сказать нельзя.

Сложнее
приходится при записи больших приближенных
чисел. Пусть число жителей деревни равно
2000 человек, а в городе приблизительно
457000
жителей. Причем относительно города в
тысячах мы уверены, но допускаем
погрешность в сотнях и десятках. В первом
случае нули в конце числа указывают на
отсутствие сотен, десятков и единиц,
такие нули мы назовем значащими;
во втором случае нули указывают на наше
незнание числа сотен, десятков и единиц.
Такие нули мы назовем незначащими.
При записи приближенного числа,
содержащего нули надо дополнительно
оговаривать их значимость. Обычно нули
– незначащие. Иногда на незначимость
нулей можно указывать, записывая число
в экспоненциальном виде (457*10³).

Сравним
точность двух приближенных чисел 1362.3
и 2.37. В первом абсолютная погрешность
не превосходит 0.1, во втором – 0.01. Поэтому
второе число выглядит более точным, чем
первое.

Подсчитаем
относительную погрешность. Для первого
числа
;
для второго.
Второе число значительно (почти в 100
раз) менее точно, чем первое. Получается
это потому, что в первом числе дано 5
верных (значащих) цифр, тогда как во
втором – только 3.

Все
цифры приближенного числа, в которых
мы уверены, будем называть верными
(значащими) цифрами. Нули сразу справа
после запятой не бывают значащими, они
лишь указывают на порядок стоящих правее
значащих цифр. Нули в крайних правых
позициях числа могут быть как значащими,
так и не значащими. Например, каждое из
следующих чисел имеет 3 значащие цифры:
283*10⁵,
200*10²,
22.5, 0.0811, 2.10, 0.0000458.

Пример

Сколько
значащих (верных) цифр в следующих
числах:

0.75
(2), 12.050 (5), 1875*10⁵
(4), 0.06*10⁹
(1)

Оценить
относительную погрешность следующих
приближенных чисел:

0.989
(0.1%),

нули
значащие: 21000 (0.005%),

0.000
024
(4%),

0.05 (20%)

Нетрудно
заметить, что для примерной оценки
относительной погрешности числа
достаточно подсчитать количество
значащих цифр. Для числа, имеющего только
одну значащую цифру относительная
погрешность около 10%;

с
2-мя значащими цифрами – 1%;

с
3-мя значащими цифрами – 0.1%;

с
4-мя значащими цифрами – 0.01% и т.д.

При
вычислениях с приближенными числами
нас будет интересовать вопрос: как,
исходя из данных приближенных чисел,
получить ответ с нужной относительной
погрешностью.

Часто
при этом все исходные данные приходится
брать с одной и той же погрешностью,
именно с погрешностью наименее точного
из данных чисел. Поэтому часто приходится
более точное число заменять менее точным
– округлять.

округление
до десятых 27.136 
27.1,

округление
до целых 32.8 
33.

Правило
округления: Если крайняя левая из
отбрасываемых при округлении цифр
меньше 5, то последнюю сохраняемую цифру
не изменяют; если крайняя левая из
отбрасываемых цифр больше 5 или если
она равна 5, то последнюю сохраняемую
цифру увеличивают на 1.

Пример

округлить
до десятых 17.96 (18.0)

округлить
до сотых 14.127 (14.13)

округлить,
сохранив 3 верные цифры: 83.501 (83.5), 728.21
(728), 0.0168835 (0.01688).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

From Wikipedia, the free encyclopedia

For the acrobatic movement, roundoff, see Roundoff.

In computing, a roundoff error,^[1] also called rounding error,^[2] is the difference between the result produced by a given algorithm using exact arithmetic and the result produced by the same algorithm using finite-precision, rounded arithmetic.^[3] Rounding errors are due to inexactness in the representation of real numbers and the arithmetic operations done with them. This is a form of quantization error.^[4] When using approximation equations or algorithms, especially when using finitely many digits to represent real numbers (which in theory have infinitely many digits), one of the goals of numerical analysis is to estimate computation errors.^[5] Computation errors, also called numerical errors, include both truncation errors and roundoff errors.

When a sequence of calculations with an input involving any roundoff error are made, errors may accumulate, sometimes dominating the calculation. In ill-conditioned problems, significant error may accumulate.^[6]

In short, there are two major facets of roundoff errors involved in numerical calculations:^[7]

The ability of computers to represent both magnitude and precision of numbers is inherently limited.
Certain numerical manipulations are highly sensitive to roundoff errors. This can result from both mathematical considerations as well as from the way in which computers perform arithmetic operations.

Representation error[edit]

The error introduced by attempting to represent a number using a finite string of digits is a form of roundoff error called representation error.^[8] Here are some examples of representation error in decimal representations:

Notation	Representation	Approximation	Error
1/7	0.142 857	0.142 857	0.000 000 142 857
ln 2	0.693 147 180 559 945 309 41…	0.693 147	0.000 000 180 559 945 309 41…
log₁₀ 2	0.301 029 995 663 981 195 21…	0.3010	0.000 029 995 663 981 195 21…
³√2	1.259 921 049 894 873 164 76…	1.25992	0.000 001 049 894 873 164 76…
√2	1.414 213 562 373 095 048 80…	1.41421	0.000 003 562 373 095 048 80…
e	2.718 281 828 459 045 235 36…	2.718 281 828 459 045	0.000 000 000 000 000 235 36…
π	3.141 592 653 589 793 238 46…	3.141 592 653 589 793	0.000 000 000 000 000 238 46…

Increasing the number of digits allowed in a representation reduces the magnitude of possible roundoff errors, but any representation limited to finitely many digits will still cause some degree of roundoff error for uncountably many real numbers. Additional digits used for intermediary steps of a calculation are known as guard digits.^[9]

Rounding multiple times can cause error to accumulate.^[10] For example, if 9.945309 is rounded to two decimal places (9.95), then rounded again to one decimal place (10.0), the total error is 0.054691. Rounding 9.945309 to one decimal place (9.9) in a single step introduces less error (0.045309). This can occur, for example, when software performs arithmetic in x86 80-bit floating-point and then rounds the result to IEEE 754 binary64 floating-point.

Floating-point number system[edit]

Compared with the fixed-point number system, the floating-point number system is more efficient in representing real numbers so it is widely used in modern computers. While the real numbers are infinite and continuous, a floating-point number system is finite and discrete. Thus, representation error, which leads to roundoff error, occurs under the floating-point number system.

Notation of floating-point number system[edit]

A floating-point number system is characterized by integers:

Any has the following form:

${displaystyle x=pm (underbrace {d_{0}.d_{1}d_{2}ldots d_{p-1}} _{text{mantissa}})_{beta }times beta ^{overbrace {E} ^{text{exponent}}}=pm d_{0}times beta ^{E}+d_{1}times beta ^{E-1}+ldots +d_{p-1}times beta ^{E-(p-1)}}$

where $d_{i}$ is an integer such that ${displaystyle 0leq d_{i}leq beta -1}$ for , and is an integer such that .

Normalized floating-number system[edit]

IEEE standard[edit]

In the IEEE standard the base is binary, i.e. , and normalization is used. The IEEE standard stores the sign, exponent, and mantissa in separate fields of a floating point word, each of which has a fixed width (number of bits). The two most commonly used levels of precision for floating-point numbers are single precision and double precision.

Precision	Sign (bits)	Exponent (bits)	Mantissa (bits)
Single	1	8	23
Double	1	11	52

Machine epsilon[edit]

Machine epsilon can be used to measure the level of roundoff error in the floating-point number system. Here are two different definitions.^[3]

Roundoff error under different rounding rules[edit]

There are two common rounding rules, round-by-chop and round-to-nearest. The IEEE standard uses round-to-nearest.

x	Round-by-chop	Roundoff Error	Round-to-nearest	Roundoff Error
1.649	1.6	0.049	1.6	0.049
1.650	1.6	0.050	1.6	0.050
1.651	1.6	0.051	1.7	-0.049
1.699	1.6	0.099	1.7	-0.001
1.749	1.7	0.049	1.7	0.049
1.750	1.7	0.050	1.8	-0.050

Calculating roundoff error in IEEE standard[edit]

Suppose the usage of round-to-nearest and IEEE double precision.

Example: the decimal number ${displaystyle (9.4)_{10}=(1001.{overline {0110}})_{2}}$ can be rearranged into

${displaystyle +1.underbrace {0010110011001100110011001100110011001100110011001100} _{text{52 bits}}110ldots times 2^{3}}$

Since the 53-rd bit to the right of the binary point is a 1 and is followed by other nonzero bits, the round-to-nearest rule requires rounding up, that is, add 1 bit to the 52-nd bit. Thus, the normalized floating-point representation in IEEE standard of 9.4 is

${displaystyle fl(9.4)=1.0010110011001100110011001100110011001100110011001101times 2^{3}.}$

This representation is derived by discarding the infinite tail

${displaystyle 0.{overline {1100}}times 2^{-52}times 2^{3}=0.{overline {0110}}times 2^{-51}times 2^{3}=0.4times 2^{-48}}$

from the right tail and then added ${displaystyle 1times 2^{-52}times 2^{3}=2^{-49}}$ in the rounding step.

Then ${displaystyle fl(9.4)=9.4-0.4times 2^{-48}+2^{-49}=9.4+(0.2)_{10}times 2^{-49}}$

Thus, the roundoff error is ${displaystyle (0.2times 2^{-49})_{10}}$ .

Measuring roundoff error by using machine epsilon[edit]

The machine epsilon ${displaystyle epsilon _{text{mach}}}$ can be used to measure the level of roundoff error when using the two rounding rules above. Below are the formulas and corresponding proof.^[3] The first definition of machine epsilon is used here.

Theorem[edit]

Round-by-chop: ${displaystyle epsilon _{text{mach}}=beta ^{1-p}}$
Round-to-nearest: ${displaystyle epsilon _{text{mach}}={frac {1}{2}}beta ^{1-p}}$

Proof[edit]

Let ${displaystyle x=d_{0}.d_{1}d_{2}ldots d_{p-1}d_{p}ldots times beta ^{n}in mathbb {R} }$ where , and let be the floating-point representation of .
Since round-by-chop is being used, it is

${displaystyle {begin{aligned}{frac {|x-fl(x)|}{|x|}}&={frac {|d_{0}.d_{1}d_{2}ldots d_{p-1}d_{p}d_{p+1}ldots times beta ^{n}-d_{0}.d_{1}d_{2}ldots d_{p-1}times beta ^{n}|}{|d_{0}.d_{1}d_{2}ldots times beta ^{n}|}}\&={frac {|d_{p}.d_{p+1}ldots times beta ^{n-p}|}{|d_{0}.d_{1}d_{2}ldots times beta ^{n}|}}\&={frac {|d_{p}.d_{p+1}d_{p+2}ldots |}{|d_{0}.d_{1}d_{2}ldots |}}times beta ^{-p}end{aligned}}}$

In order to determine the maximum of this quantity, the is a need to find the maximum of the numerator and the minimum of the denominator. Since ${displaystyle d_{0}neq 0}$ (normalized system), the minimum value of the denominator is . The numerator is bounded above by . Thus, ${displaystyle {frac {|x-fl(x)|}{|x|}}leq {frac {beta }{1}}times beta ^{-p}=beta ^{1-p}}$ . Therefore, ${displaystyle epsilon =beta ^{1-p}}$ for round-by-chop.
The proof for round-to-nearest is similar.

Note that the first definition of machine epsilon is not quite equivalent to the second definition when using the round-to-nearest rule but it is equivalent for round-by-chop.

Roundoff error caused by floating-point arithmetic[edit]

Even if some numbers can be represented exactly by floating-point numbers and such numbers are called machine numbers, performing floating-point arithmetic may lead to roundoff error in the final result.

Addition[edit]

Machine addition consists of lining up the decimal points of the two numbers to be added, adding them, and then storing the result again as a floating-point number. The addition itself can be done in higher precision but the result must be rounded back to the specified precision, which may lead to roundoff error.^[3]

This example shows that roundoff error can be introduced when adding a large number and a small number. The shifting of the decimal points in the mantissas to make the exponents match causes the loss of some of the less significant digits. The loss of precision may be described as absorption.^[11]

Note that the addition of two floating-point numbers will result in a roundoff error when their sum is an order of magnitude greater than that of the larger of the two.

This kind of error can occur alongside an absorption error in a single operation.

Multiplication[edit]

In general, the product of 2p-digit mantissas contains up to 2p digits, so the result might not fit in the mantissa.^[3] Thus roundoff error will be involved in the result.

Division[edit]

In general, the quotient of 2p-digit mantissas may contain more than p-digits.Thus roundoff error will be involved in the result.

Subtraction[edit]

Absorption also applies to subtraction.

The subtracting of two nearly equal numbers is called subtractive cancellation.^[3]
When the leading digits are cancelled, the result may be too small to be represented exactly and it will just be represented as .

Even with a somewhat larger epsilon , the result is still significantly unreliable in typical cases. There is not much faith in the accuracy of the value because the most uncertainty in any floating-point number is the digits on the far right.

This is closely related to the phenomenon of catastrophic cancellation, in which the two numbers are known to be approximations.

Accumulation of roundoff error[edit]

Errors can be magnified or accumulated when a sequence of calculations is applied on an initial input with roundoff error due to inexact representation.

Unstable algorithms[edit]

An algorithm or numerical process is called stable if small changes in the input only produce small changes in the output, and unstable if large changes in the output are produced.^[12] For example, the computation of using the «obvious» method is unstable near x=0 due to the large error introduced in subtracting two similar quantities, whereas the equivalent expression ${displaystyle textstyle {f(x)={frac {x}{{sqrt {1+x}}+1}}}}$ is stable.^[12]

Ill-conditioned problems[edit]

Even if a stable algorithm is used, the solution to a problem may still be inaccurate due to the accumulation of roundoff error when the problem itself is ill-conditioned.

The condition number of a problem is the ratio of the relative change in the solution to the relative change in the input.^[3] A problem is well-conditioned if small relative changes in input result in small relative changes in the solution. Otherwise, the problem is ill-conditioned.^[3] In other words, a problem is ill-conditioned if its condition number is «much larger» than 1.

The condition number is introduced as a measure of the roundoff errors that can result when solving ill-conditioned problems.^[7]

References[edit]

^ Butt, Rizwan (2009), Introduction to Numerical Analysis Using MATLAB, Jones & Bartlett Learning, pp. 11–18, ISBN 978-0-76377376-2
^ Ueberhuber, Christoph W. (1997), Numerical Computation 1: Methods, Software, and Analysis, Springer, pp. 139–146, ISBN 978-3-54062058-7
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j Forrester, Dick (2018). Math/Comp241 Numerical Methods (lecture notes). Dickinson College.
^ Aksoy, Pelin; DeNardis, Laura (2007), Information Technology in Theory, Cengage Learning, p. 134, ISBN 978-1-42390140-2
^ Ralston, Anthony; Rabinowitz, Philip (2012), A First Course in Numerical Analysis, Dover Books on Mathematics (2nd ed.), Courier Dover Publications, pp. 2–4, ISBN 978-0-48614029-2
^ Chapman, Stephen (2012), MATLAB Programming with Applications for Engineers, Cengage Learning, p. 454, ISBN 978-1-28540279-6
^ ^a ^b Chapra, Steven (2012). Applied Numerical Methods with MATLAB for Engineers and Scientists (3rd ed.). McGraw-Hill. ISBN 9780073401102.
^ Laplante, Philip A. (2000). Dictionary of Computer Science, Engineering and Technology. CRC Press. p. 420. ISBN 978-0-84932691-2.
^ Higham, Nicholas John (2002). Accuracy and Stability of Numerical Algorithms (2 ed.). Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM). pp. 43–44. ISBN 978-0-89871521-7.
^ Volkov, E. A. (1990). Numerical Methods. Taylor & Francis. p. 24. ISBN 978-1-56032011-1.
^ Biran, Adrian B.; Breiner, Moshe (2010). «5». What Every Engineer Should Know About MATLAB and Simulink. Boca Raton, Florida: CRC Press. pp. 193–194. ISBN 978-1-4398-1023-1.
^ ^a ^b Collins, Charles (2005). «Condition and Stability» (PDF). Department of Mathematics in University of Tennessee. Retrieved 2018-10-28.

External links[edit]

Roundoff Error at MathWorld.
Goldberg, David (March 1991). «What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic» (PDF). ACM Computing Surveys. 23 (1): 5–48. doi:10.1145/103162.103163. S2CID 222008826. Retrieved 2016-01-20. ([1], [2])
20 Famous Software Disasters

Источник

Когда мы работаем с числами, особенно в компьютерных программах, мы неизбежно сталкиваемся с округлением. Иногда нам нужно округлить числа до определенного количества десятичных знаков или до целого числа. Но как мы можем быть уверены, что округление не повлияет на точность вычислений?

Здесь на помощь приходит понятие абсолютной погрешности округления. Это значение показывает насколько точно округленное число соответствует исходному числу. Измерение абсолютной погрешности позволяет нам оценить точность результата вычислений и знать, насколько можно доверять полученным значениям.

В этой статье мы рассмотрим, что такое абсолютная погрешность округления, как ее измерить и как она может повлиять на наши вычисления. Мы также рассмотрим примеры использования абсолютной погрешности в различных областях, включая физику, математику и инженерию.

Содержание

Что такое абсолютная погрешность?
Как измерить абсолютную погрешность округления?
Какая роль абсолютной погрешности в научных вычислениях?
Как минимизировать абсолютную погрешность в вычислениях?
Вопрос-ответ
Как определить абсолютную погрешность округления?
Как избежать абсолютной погрешности округления?
Как абсолютная погрешность округления влияет на результаты вычислений?

Что такое абсолютная погрешность?

Абсолютная погрешность — это разность между истинным значением измеряемой величины и численным значением, полученным в результате измерения. То есть, это ошибка или неточность, которая возникает при округлении десятичной дроби до определенного числа знаков после запятой.

Абсолютная погрешность измерения — это неизбежное явление, которое невозможно полностью исключить из любого измерения. Она может возникать из-за разной степени точности инструмента, лимитов точности системы измерения, а также из-за ошибок человека при выполнении измерений и записи результатов.

Единицей измерения абсолютной погрешности является та же единица измерения, что и для самой измеряемой величины. Обычно абсолютную погрешность выражают в процентах от измеряемой величины.

Измерение абсолютной погрешности является важным шагом в процессе контроля качества измерений и может использоваться для определения границ допустимой ошибки. Ее вычисление может помочь улучшить точность и достоверность измерений и снизить ошибки по результатам исследований.

Как измерить абсолютную погрешность округления?

Для измерения абсолютной погрешности округления необходимо сравнить точное значение числа с его округленным значением. Точное значение может быть известно из условий задачи, экспериментов или других источников. Округленное значение может быть получено с помощью математической операции округления, в зависимости от количества знаков после запятой или других критериев.

Разница между точным значением и округленным значением называется абсолютной погрешностью округления. Это значение может быть выражено в тех же единицах измерения, что и само число. Например, если точное значение равно 7,5, а округленное значение равно 8, абсолютная погрешность округления равна 0,5.

Чтобы измерить абсолютную погрешность округления более точно, можно использовать инструменты, специально предназначенные для этого. Они могут быть встроены в математические программы или быть самостоятельными приложениями. Также можно использовать онлайн-калькуляторы для измерения погрешности.

Важно понимать, что абсолютная погрешность округления может сильно влиять на результаты вычислений, особенно если имеется большое количество данных и многократные операции округления. Поэтому ее измерение и учет являются важными шагами в точных вычислениях.

Какая роль абсолютной погрешности в научных вычислениях?

Абсолютная погрешность является одним из ключевых показателей точности научных вычислений. Она показывает, насколько результаты расчетов могут отличаться от реальных значений. Кроме того, абсолютная погрешность помогает оценить качество исходных данных и методов измерений.

В научных вычислениях абсолютная погрешность используется для принятия решений и определения значимости результатов. Если абсолютная погрешность слишком большая, то рассчитанные значения не могут быть использованы в научных работах или бизнес-расчетах. В таких случаях требуется уменьшить неточность данных или разработать новые методы измерений.

Чтобы измерить абсолютную погрешность в научных вычислениях, необходимо использовать специальные методы и алгоритмы. Один из эффективных способов — использование статистических методов, таких как метод наименьших квадратов. Этот метод позволяет определить наилучшее приближение к реальным значениям и вычислить абсолютную погрешность для данного набора данных.

Таким образом, абсолютная погрешность играет важную роль в научных вычислениях и требует постоянного контроля и оценки. Наличие точных и надежных результатов позволяет сделать правильные выводы и принять важные решения в науке, технике, экономике и других областях деятельности.

Как минимизировать абсолютную погрешность в вычислениях?

Чтобы минимизировать абсолютную погрешность в вычислениях, необходимо придерживаться нескольких правил:

Используйте более точные числа. Чем больше знаков после запятой у числа, тем точнее результат вычислений. Но не забывайте, что вычисления с более точными числами могут быть более затратными по времени и ресурсам.
Избегайте округления. Округление может привести к значительной погрешности в результате вычислений. Если это возможно, пользуйтесь неокругленными значениями и откладывайте округление до окончательного вывода результата.
Учитывайте единицы измерения и их погрешности. Если вы работаете с физическими величинами, которые измеряются с определенной погрешностью, учитывайте эту погрешность при проведении вычислений.
Оставляйте запас по точности. Если вы работаете с числами, которые могут содержать значительное количество погрешностей, рекомендуется оставлять запас по точности, увеличивая число знаков после запятой, которые вы используете для вычислений.
Проверяйте результаты. Проверяйте вычисленные результаты, сравнивая их с другими методами или с реальными измерениями. Это поможет выявить и исправить ошибки в вычислениях.

Пример погрешностей в вычислениях

Выражение	Точный ответ	Оценка погрешности	Результат при округлении
3.14159 + 2.71828	5.85987	0.00001	5.8599
1/3 + 1/4	0.58333	0.00002	0.5833
2 * sqrt(2)	2.82843	0.00001	2.8284

Наконец, важно знать, что абсолютная погрешность не может быть полностью исключена. Она зависит от точности входных данных, аппаратных средств, алгоритмов и других факторов, и может принимать различные значения для разных вычислительных задач.

Вопрос-ответ

Как определить абсолютную погрешность округления?

Абсолютная погрешность округления — это разница между округленным значением и исходным значением. Чтобы ее определить, необходимо вычислить разницу между исходным значением и округленным значением. Например, если исходное значение равно 10.5, а округленное значение равно 11, то абсолютная погрешность будет равна 0.5.

Как избежать абсолютной погрешности округления?

Избежать абсолютной погрешности округления довольно сложно, так как это является неизбежной частью математических вычислений, особенно при работе с десятичными дробями. Однако можно снизить влияние абсолютной погрешности округления, используя высокоточные вычисления, такие как вычисления с плавающей запятой с удвоенной точностью или вычисления с длинной арифметикой.

Как абсолютная погрешность округления влияет на результаты вычислений?

Абсолютная погрешность округления может приводить к значительным ошибкам при вычислениях. Кроме того, она может накапливаться с каждым новым вычислением, что приводит к увеличению ошибки. Из-за этого, при работе с большим количеством данных и длительных вычислениях, необходимо учитывать и контролировать абсолютную погрешность округления, чтобы сохранить точность результатов.

Источник

Физика > Ошибка округления

Ошибка округления – разница между вычисленным приближенным значением и точным математическим: округление чисел, правила округления, разница и точность.

Задача обучения

Объяснить возможность ошибок округления при расчетах и принципы их уменьшения.

Основные пункты

Когда производят последовательные вычисления, то ошибки округления могут накапливаться, пока не приведут к весомой погрешности.
Увеличение количества цифр уменьшает величину возможных ошибок округления. Но это не всегда приемлемо в вычислениях вручную.
Степень – округление чисел относительно цели расчетов и фактического значения.

Термин

Округление – неточное решение или результат, выступающий приемлемым для определенной цели.

Ошибка округления

Ошибка округления – разница между рассчитанным приближенным числом и точным математическим показателем. Численный анализ старается оценить эту погрешность при использовании округлений в уравнениях и алгоритмах. Проблема в том, что если применяются последовательные вычисления, то первоначальная ошибка в округлении способна вырасти до весомой погрешности, которая сильно повлияет на результат.

Подсчеты редко приводят к целым числам. Поэтому мы получаем десятичное с бесконечными цифрами. Чем больше чисел используют, тем точнее подсчеты. Но в некоторых случаях это неприемлемо, особенно при расчетах вручную. Тем более, что человеческое внимание не способно уследить за такими погрешностями. Чтобы упростить процесс, числа округляют до нескольких десятых.

Например, уравнение для нахождения окружности A=πr² довольно сложно вычислить, так как число π тянется до бесконечности (абсолютная ошибка округления числа пи), но чаще представляется как 3.14. Технически это снижает точность вычисления, но данное число достаточно близко к реальной оценке.

Однако при следующих расчетах данные будут снова округляться, а значит накапливаются ошибки. Если их много, то не миновать серьезных сдвигов в расчетах.

Вот один из таких примеров:

Округление данных чисел повлияет на ответ. Чем больше округлений, тем больше ошибок.

Источник