Что такое ошибка и недочет в математике

Системы оценивания письменных работ по
математике

При проверке
усвоения материала необходимо выявлять полноту, прочность усвоения
учащимися теории и
умения применять ее на практике в знакомых и незнакомых ситуациях.

Формами контроля качества освоения содержания
учебной программы учащимися являются:

·                  
Письменная
проверка предполагает письменный
ответ учащегося  на один  или систему вопросов (заданий). К письменным ответам
относятся: домашние, проверочные, практические, контрольные, творческие работы,
письменные ответы на вопросы теста, рефераты и пр.

·                  
Устная проверка предполагает устный ответ учащегося на один
или систему вопросов в форме рассказа, беседы, собеседования и другое.

·                  
Комбинированная проверка
предполагает сочетание устных и письменных форм работы.

Рассмотрим оценивание письменной проверки.

Оценка ответа
учащегося при письменном оп­росе проводится по пятибалльной системе, т.
е. за ответ вы­ставляется одна из отметок:5 (отлично), 4
(хорошо), 3   (удовлетворительно), 2 (неудовлетвори­тельно), 1 (плохо) на
практике такую оценку практически не используют.

Учителю
важно знать, как соотнести фактические знания ученика и оценку, отражающую эти
знания.

В
зависимости от поставленных целей по-разному строится программа контроля,
подбираются различные типы вопросов и заданий. Но применение примерных норм
оценки знаний должно внести единообразие в оценку знаний и умений учащихся и
сделать ее более объективной. Примерные нормы  представляют основу, исходя из
которой, учитель оценивает знания и умения учащихся.

Содержание и объем материала, подлежащего проверке и оценке, определяются программой по математике
для средней школы. В задания для проверки включаются основные, типичные и
притом различной сложности вопросы, соответствующие проверяемому разделу
программы.

При
проверке знаний и умений, учащихся учитель выявляет не только степень усвоения
учащимися теории и умения применять ее на практике, но также умение
самостоятельно мыслить.

Основными формами проверки знаний и умений учащихся по математике в средней школе являются устный
опрос и письменная контрольная работа, наряду с которыми применяются и другие
формы проверки. Письменная контрольная работа позволяет оценить умение учащихся
излагать свои мысли на бумаге; навыки грамотного и фактически грамотного
оформления выполняемых ими заданий.

При оценке письменных контрольных работ учитель в первую очередь учитывает имеющиеся у
учащегося фактические знания и умения, их полноту, прочность, умение применять
на практике в различных ситуациях. Результат оценки зависит также от наличия и
характера погрешностей, допущенных при письменной контрольной работе.

Среди
погрешностей выделяются ошибки, недочеты и мелкие погрешности.

Погрешность
считается ошибкой, если она свидетельствует о том, что ученик не овладел
основными знаниями, умениями и их применением.

К
недочетам относятся погрешности, свидетельствующие о недостаточно полном
или недостаточно прочном усвоении основных знаний и умений или об отсутствии
знаний, не считающихся в соответствии с программой основными. К недочетам относятся
погрешности, объясняющиеся рассеянностью или недосмотром, но которые не привели
к искажению смысла полученного учеником задания или способа его выполнения.
Грамматическая ошибка, допущенная в написании известного учащемуся
математического термина, небрежная запись, небрежное выполнение чертежа
считаются недочетом.

К
мелким погрешностям относятся погрешности в письменной речи, не
искажающие смысла ответа или решения, случайные описки и т. п.

Граница между ошибками и недочетами является в некоторой степени условной. В одно время
при одних обстоятельствах допущенная учащимися погрешность может
рассматриваться как ошибка, в другое время и при других обстоятельствах она
может рассматриваться как недочет.

Решение
задачи считается безупречным, если получен верный ответ при правильном ходе
решения, выбран соответствующий задаче способ решения, правильно выполнены
необходимые вычисления и преобразования, последовательно и аккуратно оформлено
решение.

Оценивание письменных контрольных работ.

Ответ оценивается отметкой «5»,
если:

·                  
работа выполнена
полностью;

·                  
в логических рассуждениях
и обосновании решения нет пробелов и ошибок;

·                  
в решении нет
математических ошибок (возможна одна неточность, описка, которая не является
следствием незнания или непонимания учебного материала).

Отметка «4» ставится в следующих случаях:

·                  
работа выполнена
полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать
рассуждения не являлось специальным объектом проверки);

·                  
допущены одна ошибка или
есть два – три недочёта в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти
виды работ не являлись специальным объектом проверки).

Отметка «3» ставится, если:

·                
допущено более одной
ошибки или более двух – трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но
учащийся обладает обязательными умениями по проверяемой теме.

Отметка «2» ставится, если:

·                
допущены существенные
ошибки, показавшие, что учащийся не обладает обязательными умениями по данной
теме в полной мере.

Отметка «1» ставится в случае:

·                
полного незнания
изученного материала, отсутствия элементарных умений и навыков.

Общая классификация ошибок

При оценке знаний, умений и навыков учащихся
следует учитывать все ошибки (грубые и негрубые) и недочёты.

Грубыми считаются ошибки:

·                  
незнание определения
основных понятий, законов, правил, основных положений теории, незнание формул,
общепринятых символов обозначений величин, единиц их измерения;

·                  
незнание наименований
единиц измерения;

·                  
неумение выделить в ответе
главное;

·                  
неумение применять знания,
алгоритмы для решения задач;

·                  
неумение делать выводы и
обобщения;

·                  
неумение читать и строить
графики;

·                  
неумение пользоваться
первоисточниками, учебником и справочниками;

·                  
потеря корня или
сохранение постороннего корня;

·                  
отбрасывание без
объяснений одного из них;

·                  
равнозначные им ошибки;

·                  
вычислительные ошибки,
если они не являются опиской;

·                  
логические ошибки

·                  
вычислительные ошибки в
примерах и задачах;

·                  
-ошибки на незнание
порядка выполнения арифметических действий;

·                  
-неправильное решение
задачи (пропуск действий, неправильный выбор действий, лишнее действие);

·                  
-недоведение до конца
решения задачи или примера;

·                  
-невыполненное задание

·                  
-неправильный выбор
порядка выполнения действий в выражении;

·                  
-пропуск нуля в частном
при делении натуральных чисел или десятичных дробей;

·                  
-неправильный выбор знака
в результате выполнения действий над положительными и отрицательными числами; а
так же при раскрытии скобок и при переносе слагаемых из одной части уравнения в
другую;

·                  
— неправильный выбор
действий при решении текстовых задач;

·                  
-неправильное измерение
или построение угла с помощью транспортира, связанное с отсутствием умения
выбирать нужную шкалу;

·                  
-неправильное проведение
перпендикуляра к прямой или высот в тупоугольном треугольнике;

·                  
-умножение показателей при
умножении степеней с одинаковыми основаниями;

·                  
-“сокращение” дроби на
слагаемое;

·                  
-замена частного
десятичных дробей частным целых чисел в том случае, когда в делителе после
запятой меньше цифр, чем в делимом;

·                  
-сохранение знака
неравенства при делении обеих его частей на одно и тоже отрицательное число;

·                  
-неверное нахождение
значения функции по значению аргумента и ее графику;

·                  
-потеря корней при решении
тригонометрических уравнений;

·                  
-непонимание смысла
решения системы двух уравнений с двумя переменными как пары чисел;

·                  
-незнание определенных
программой формул (формулы корней квадратного уравнения, формул производной
частного и произведения, формул приведения, основных тригонометрических
тождеств и др.);

·                  
-приобретение посторонних
корней при решении иррациональных, показательных и логарифмических уравнений;

·                  
-погрешность в нахождении
координат вектора;

·                  
-погрешность в разложении
вектора по трем неколлинеарным векторам, отложенным от разных точек;

·                  
-неумение сформулировать
предложение, обратное данной теореме;

·                  
-ссылка при доказательстве
или обосновании решения на обратное утверждение, вместо прямого;

·                  
— использование вместо
коэффициента подобия обратного ему числа.

К негрубым ошибкам следует
отнести:

·                  
неточность формулировок,
определений, понятий, теорий, вызванная неполнотой охвата основных признаков
определяемого понятия или заменой одного — двух из этих признаков
второстепенными;

·                  
неточность графика;

·                  
нерациональный метод
решения задачи или недостаточно продуманный план ответа (нарушение логики,
подмена отдельных основных вопросов второстепенными);

·                  
нерациональные методы
работы со справочной и другой литературой;

неумение решать задачи, выполнять задания в
общем виде

·                    
неправильная постановка
вопроса к действию при решении задачи;

·                    
неверно сформулированный
ответ задачи;

·                    
неправильное списывание
данных чисел, знаков;

·                    
недоведение до конца
преобразований.

·                    
неправильная ссылка на
сочетательный и распределительный законы при вычислениях;

·                    
неправильное использование
в отдельных случаях наименований, например, обозначение единиц длины для единиц
площади и объема;

·                    
сохранение в окончательном
результате при вычислениях или преобразованиях выражений неправильной дроби или
сократимой дроби;

·                    
приведение алгебраических
дробей не к наиболее простому общему знаменателю;

·                    
случайные погрешности в
вычислениях при решении геометрических задач и выполнении тождественных
преобразований.

Недочетами являются:

·                  
нерациональные приемы
вычислений и преобразований; небрежное выполнение записей, чертежей, схем,
графиков.

Оценивание решения одной задачи, одного примера, ответа на один вопрос.

Это
необходимо, т. к. у доски, да часто и самостоятельно в классе учащиеся решают
одну задачу. К тому же умение оценивать решение одной задачи облегчает оценку
комплексного задания.

Решение
задачи обычно состоит из нескольких этапов:

а)
осмысление условия и цели задачи;

б)
возникновение плана решения;

в)
осуществление намеченного плана;

г)
проверка полученного результата.

Оценивая
выполненную работу, естественно учитывать результаты деятельности учащегося на
каждом этапе; правильность высказанной идеи, плана решения, а так же степень
осуществления этого плана при выставлении оценки нужно считать решающими. Т.о.,
при оценке решения задачи необходимо учитывать, насколько правильно учащийся
понял ее, высказал ли он плодотворную идею и как осуществил намеченный план
решения, какие навыки и умения показал, какие использовал знания.

Приведем пример.

Ученик
решает задачу, где важнейшим является составление системы уравнений. Если он
получил систему, но не довел решение до конца, то можно выставить “4”. Если же
основная задача состоит в решении полученной системы, то за ее составление
можно выставить “3”.

Оценка письменной работы по выполнению
вычислительных заданий и алгебраических преобразований

Оценка «5» ставится за безукоризненное выполнение письменной
работы, т.е.:

а) если решение всех примеров верное;

б) если все действия и преобразования
выполнены правильно, без ошибок; все записи хода решения расположены
последовательно, а также сделана проверка решения в тех случаях, когда это
требуется.

Оценка «4» ставится за работу, в которой допущена одна (негрубая)
ошибка или два-три недочета.

Оценка «3» ставится в следующих случаях:

а) если в работе имеется одна грубая ошибка и
не более одной негрубой ошибки;

б) при наличии одной грубой ошибки и
одного-двух недочетов;

в) при отсутствии грубых ошибок, но при
наличии от двух до четырех (негрубых) ошибок;

г) при наличии двух негрубых ошибок и не более
трех недочетов;

д) при отсутствии ошибок, но при наличии
четырех и более недочетов;

е) если неверно выполнено не более половины
объема всей работы.

Оценка «2» ставится, когда число ошибок превосходит норму, при
которой может быть выставлена положительная оценка, или если правильно
выполнено менее половины всей работы.

Оценка «1» ставится, если ученик совсем не выполнил работу.

Примечание. Оценка «5» может быть поставлена,
несмотря на наличие одного-двух недочетов, если ученик дал оригинальное решение
заданий, свидетельствующее о его хорошем математическом развитии.

Оценка письменной работы на решение текстовых
задач

Оценка «5» ставится в том случае, когда задача решена правильно:
ход решения задачи верен, все действия и преобразования выполнены верно и
рационально; в задаче, решаемой с вопросами или пояснениями к действиям, даны
точные и правильные формулировки; в задаче, решаемой с помощью уравнения, даны необходимые
пояснения; записи правильны, расположены последовательно, дан верный и
исчерпывающий ответ на вопросы задачи; сделана проверка решения (в тех случаях,
когда это требуется).

Оценка «4» ставится в том случае, если при правильном ходе
решения задачи допущена одна негрубая ошибка или два-три недочета.

Оценка «3» ставится в том случае, если ход решения правилен, но
допущены:

а) одна грубая ошибка и не более одной
негрубой;

б) одна грубая ошибка и не более двух
недочетов;

в) три-четыре негрубые ошибки при отсутствии
недочетов;

г) допущено не более двух негрубых ошибок и
трех недочетов;

д) более трех недочетов при отсутствии ошибок.

Оценка «2» ставится в том случае, когда число ошибок превосходит
норму, при которой может быть выставлена положительная оценка.

Оценка «1» ставится в том случае, если ученик не выполнил ни одного
задания работы.

Примечания:

1. Оценка «5» может быть поставлена
несмотря на наличие описки или недочета, если ученик дал оригинальное решение, свидетельствующее
о его хорошем математическом развитии.

2. Положительная оценка «3» может быть
выставлена ученику, выполнившему работу не полностью, если он безошибочно выполнил
более половины объема всей работы.

Оценка комбинированных письменных работ по
математике

Письменная работа по математике, подлежащая
оцениванию, может состоять из задач и примеров (комбинированная работа). В таком
случае преподаватель сначала дает предварительную оценку каждой части работы, а
затем общую, руководствуясь следующим:

а) если обе части работы оценены одинаково, то
эта оценка должна быть общей для всей работы в целом;

б) если оценки частей разнятся на один балл,
например, даны оценки «5» и «4» или «4» и «3» и т. п., то за работу в целом,
как правило, ставится балл, оценивающий основную часть работы;

в) если одна часть работы оценена баллом «5»,
а другая — баллом «3», то преподаватель может оценить такую работу в целом баллом
«4» при условии, что оценка «5» поставлена за основную часть работы;

г) если одна из частей работы оценена баллом
«5» или «4», а другая — баллом «2» или «1», то преподаватель может оценить всю
работу баллом «3» при условии, что высшая из двух данных оценок поставлена за
основную часть работы.

Примечание. Основной считается та часть работы, которая включает
больший по объему или наиболее важный по значению материал по изучаемым темам
программы.

Оценка текущих письменных работ

При оценке повседневных обучающих работ по
математике учитель руководствуется указанными нормами оценок, но учитывает
степень самостоятельности выполнения работ учащимися.

Обучающие письменные работы, выполненные
учащимися вполне самостоятельно с применением ранее изученных и хорошо закрепленных
знаний, оцениваются так же, как и контрольные работы.

Обучающие письменные работы, выполненные
вполне самостоятельно, на только что изученные и недостаточно закрепленные правила,
могут оцениваться менее строго.

Письменные работы, выполненные в классе с предварительным
разбором их под руководством учителя, оцениваются более строго.

Домашние письменные работы оцениваются так же,
как классная работа обучающего характера.

В соответствии с особенностями математики как
учебного предмета оценки за письменные работы имеют большее значение, чем
оценки за устные ответы и другие виды работ.

Критерии оценки учебной деятельности по математике

Рекомендации по оценке учебной деятельности  учащихся по математике.

Опираясь на эти рекомендации, учитель оценивает знания, умения и навыки учащихся с учетом их индивидуальных особенностей.

1. Содержание и объем материала, подлежащего проверке, определяется программой. При проверке усвоения материала нужно выявлять полноту, прочность усвоения учащимися теории и умения применять ее на практике в знакомых и незнакомых ситуациях.

1. Основными формами проверки знаний и умений, учащихся по математике являются письменная контрольная работа и устный опрос.

1. Среди погрешностей выделяются ошибки и недочеты.

Погрешность считается ошибкой, если она свидетельствует о том, что ученик не овладел основными знаниями, умениями, указанными в программе.

• недочетам относятся погрешности, свидетельствующие о недостаточно полном или недостаточно прочном усвоении основных знаний и умений или об отсутствии знаний, которые в программе не считаются основными. Недочетами также считаются: погрешности, которые не привели к искажению смысла полученного учеником задания или способа его выполнения: неаккуратная запись, небрежное выполнение чертежа.

1. Задания для устного и письменного опроса учащихся состоят из теоретических вопросов и задач.

Ответ на теоретический вопрос считается безупречным, если по своему содержанию полностью соответствует вопросу, содержит все необходимые теоретические факты и обоснованные выводы, а его изложение и письменная запись математически грамотны и отличаются последовательностью и аккуратностью.

Решение задачи считается безупречным, если правильно выбран способ решения, само решение сопровождается необходимыми объяснениями, верно, выполнены нужные вычисления и преобразования, получен верный ответ, последовательно и аккуратно записано решение.

1. Оценка ответа учащихся при устном и письменном опросе производится по 4-х

балльной («5», «4», «3», «2») системе.

1. Учитель может повысить отметку за оригинальный ответ на вопрос или оригинальное решение задачи, которые свидетельствуют о высоком математическом развитии учащегося, за решение более сложной задачи или ответ на более сложный вопрос, предложенные учащемуся дополнительно после выполнения им задания.

1. Итоговые отметки (за тему, четверть, курс) выставляются по состоянию знаний на конец этапа обучения с учетом текущих отметок.

Оценка устных ответов обучающихся.

Ответ оценивается отметкой «5», если обучающийся:

• полно раскрыл содержание материала в объеме, предусмотренном программой и учебником;

∙        изложил материал грамотным языком в определенной логической последовательности, точно используя математическую терминологию и символику;

• правильно выполнил рисунки, чертежи, графики, сопутствующие ответу;

• показал умение иллюстрировать теоретические положения конкретными примерами, применять их в новой ситуации при выполнении практического задания;

• продемонстрировал усвоение ранее изученных сопутствующих вопросов, сформированность и устойчивость использованных при ответе умений и навыков;

• отвечал самостоятельно без наводящих вопросов учителя.

Возможны одна – две неточности при освещении второстепенных вопросов или в выкладках, которые ученик легко исправил по замечанию учителя.

Ответ оценивается отметкой «4», если он удовлетворен в основном требованиям на отметку «5», но при этом имеет один из недостатков:

• в изложении допущены небольшие пробелы, не исказившие математического содержания ответа, исправленные по замечанию учителя.

• допущены ошибки или более двух недочетов при освещении второстепенных вопросов или в выкладках, которые ученик легко исправил по замечанию учителя.

Отметка «3» ставится в следующих случаях:

• неполно или непоследовательно раскрыто содержание материала, но показано общее понимание вопроса и продемонстрированы умения, достаточные для дальнейшего усвоения программного материала (определенные «Требованиями к математической подготовке учащихся»).

• имелись затруднения или допущены ошибки в определении понятий и, использовании математической терминологии, чертежах, выкладках, исправленные после нескольких наводящих вопросов учителя;

• ученик не справился с применением теории в новой ситуации при выполнении практического задания, но выполнил задания обязательного уровня сложности по данной теме;

• при знании теоретического материала выявлена недостаточная сформированность умений и навыков.

Отметка «2» ставится в следующих случаях:

• не раскрыто основное содержание учебного материала;

• обнаружено незнание или непонимание учеником большей или наиболее важной части учебного материала;

• допущены ошибки в определении понятий, при использовании математической терминологии, в рисунках, чертежах или графиках, в выкладках, которые не исправлены после нескольких наводящих вопросов учителя.

• ученик обнаружил полное незнание и непонимание изучаемого материала или не смог ответить ни на один из поставленных вопросов по изучаемому материалу.

Оценка письменных контрольных работ обучающихся.

Отметка «5» ставится в следующих случаях:

• работа выполнена полностью.
• в логических рассуждениях и обоснованиях нет пробелов и ошибок;

• в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, не являющаяся следствием незнания или непонимания учебного материала);

Отметка «4» ставится, если:

• работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умения обосновывать рассуждения не являлись специальным объектом проверки);

• допущена одна ошибка или два-три недочета в выкладках, чертежах или графиках (если эти виды работы не являлись специальным объектом проверки);

Отметка «3» ставится, если:

• допущены более одной ошибки или более двух- трех недочетов в выкладках, чертежах или графика, но учащийся владеет обязательными умениями по проверяемой теме.

Отметка «2» ставится, если:

• допущены существенные ошибки, показавшие, что учащийся не владеет обязательными знаниями по данной теме в полной мере;

• работа показала полное отсутствие у учащегося обязательных знаний, умений по проверяемой теме или значительная часть работы выполнена не самостоятельно.

Общая классификация ошибок.

При оценке знаний, умений и навыков обучающихся следует учитывать все ошибки (грубые и негрубые) и недочёты.

Грубыми считаются ошибки:

∙

1. незнание определения основных понятий, законов, правил, основных

положений теории, незнание формул, общепринятых символов обозначений величин, единиц их измерения;

1. незнание наименований единиц измерения;

1. неумение выделить в ответе главное;

1. неумение применять знания, алгоритмы для решения задач;

1. неумение делать выводы и обобщения;

1. неумение читать и строить графики;

1. неумение пользоваться первоисточниками, учебником и справочниками;

1. потеря корня или сохранение постороннего корня;

1. отбрасывание без объяснений одного из них;

1. равнозначные им ошибки;

1. вычислительные ошибки, если они не являются опиской;

1. логические ошибки.

• негрубым ошибкам следует отнести:

1. неточность формулировок, определений, понятий, теорий, вызванная неполнотой охвата основных признаков определяемого понятия или заменой одного — двух из этих признаков второстепенными;

1. неточность графика;

1. нерациональный метод решения задачи или недостаточно продуманный

план ответа (нарушение логики, подмена отдельных основных вопросов второстепенными);

1. нерациональные методы работы со справочной и другой литературой; o неумение решать задачи, выполнять задания в общем виде.

o  Недочетами являются:

o  нерациональные приемы вычислений и преобразований;

o  небрежное выполнение записей, чертежей, схем, графиков.

Контрольно-измерительные материалы Тесты

Все вопросы в тестах разделены на три уровня сложности. Задания части А – базового уровня, части В – повышенного, части С – высокого уровня. При оценивании результатов тестирования это следует учитывать. Каждое верно выполненное задание уровня А оценивается в 1 балл, уровня

• – в 2 балла, уровня С – в 3 балла. Используется гибкая система оценивания результатов, при которой ученик имеет право на ошибку:

80-100% от минимальной суммы баллов – оценка «5»

60-80% от минимальной суммы баллов – оценка «4»

40-60% от минимальной суммы баллов – оценка «3»

0-40% от минимальной суммы баллов – оценка «2».

Математические диктанты.

Оценки за работу выставляются с учетом числа верно выполненных заданий. Перед началом диктанта довести до сведения учащихся нормы оценок за 10 вопросов:

10-9 вопросов – оценка «5»

8-7 вопросов – оценка «4»

6-5 вопросов – оценка «3»

Менее 5 вопросов – оценка «2».

Контрольные и самостоятельные работы

Единые нормы являются основой при оценке как контрольных, так и всех других письменных работ по математике. Они обеспечивают единство требований к обучающимся со стороны всех учителей образовательных учреждения, сравнимость результатов обучения в разных классах. Применяя эти нормы, учитель должен индивидуально подходить к оценке каждой письменной работы учащегося, обращать внимание на качество выполнения работы в целом, а затем уже на количество ошибок и на их характер.

Содержание и объем материала, включаемого в контрольные письменные работы, а также в задания для повседневных письменных упражнений, определяются требованиями, установленными программой. Наряду с контрольными работами по определенным разделам темы следует проводить итоговые контрольные работы по всей изученной теме.

По характеру заданий письменные работы могут состоять: а) только из примеров; б) только из задач; в) из задач и примеров.

Контрольные работы, которые имеют целью проверку знаний, умений и навыков учащихся по целому разделу программы, а также по материалу, изученному за четверть или за год, как правило, должны состоять из задач и примеров.

Оценка письменной работы определяется с учетом, прежде всего, ее общего математического уровня, оригинальности, последовательности, логичности ее выполнения, а также числа ошибок и недочетов и качества оформления работы.

Ошибка, повторяющаяся в одной работе несколько раз, рассматривается как одна ошибка.

За орфографические ошибки, допущенные учениками, оценка не снижается; об орфографических ошибках доводится до сведения преподавателя русского языка. Однако ошибки в написании математических терминов, уже встречавшихся школьникам класса, должны учитываться как недочеты в работе.

При оценке письменных работ по математике различают грубые ошибки, ошибки и недочеты. Грубыми в 5-6 классах считаются ошибки, связанные с вопросами, включенными в «Требования к уровню подготовки оканчивающих начальную школу» Образовательных стандартов, а также показывающие, что ученик не усвоил вопросы изученных новых тем, отнесенные Стандартами основного общего образования к числу обязательных для усвоения всеми учениками.

Так, к грубым относятся ошибки в вычислениях, свидетельствующие о незнании таблицы сложения или таблицы умножения, связанные с незнанием алгоритма письменного сложения и вычитания, умножения и деления на одно- или двузначное число

• т. п., ошибки, свидетельствующие о незнании основных формул, правил и явном неумении их применять, о незнании приемов решения задач, аналогичных ранее изученным.

Примечание. Если грубая ошибка встречается в работе только в одном случае из нескольких аналогичных, то при оценке работы эта ошибка может быть приравнена к негрубой.

Примерами негрубых ошибок являются: ошибки, связанные с недостаточно полным усвоением текущего учебного материала, не вполне точно сформулированный вопрос или пояснение при решении задачи, неточности при выполнении геометрических построений

• т. п.

Недочетами считаются нерациональные записи при вычислениях, нерациональные приемы вычислений, преобразований и решений задач, небрежное выполнение чертежей

• схем, отдельные погрешности в формулировке пояснения или ответа в задаче. К недочетам можно отнести и другие недостатки работы, вызванные недостаточным вниманием учащихся, например: неполное сокращение дробей или членов отношения; обращение смешанных чисел в неправильную дробь при сложении и вычитании; пропуск чисел в промежуточных записях; перестановка цифр при записи чисел ошибки, допущенные при переписывании, и т. п.

Оценка письменной работы по выполнению вычислительных заданий и алгебраических преобразований

Оценка «5» ставится за безукоризненное выполнение письменной работы, т. е.: а) если решение всех примеров верное; б) если все действия и преобразования выполнены

правильно, без ошибок; в) все записи хода решения расположены последовательно, а также сделана проверка решения в тех случаях, когда это требуется.

Оценка «4» ставится за работу, в которой допущена одна (негрубая) ошибка или 2-

1. недочета.

Оценка «3» ставится в следующих случаях: а) если в работе имеется 1 грубая и не более 1 негрубой ошибки; б) при наличии 1 грубой ошибки и 1-2 недочетов; в) при отсутствии грубых ошибок, но при наличии 2-4 негрубых ошибок; г) при наличии двух негрубых ошибок и не более трех недочетов; д) при отсутствии ошибок, но при наличии 4 и более недочетов; е) если неверно выполнено не более половины объема всей работы.

Оценка «2» ставится, когда число ошибок превосходит норму, при которой может быть выставлена положительная оценка, или если правильно выполнено менее половины всей работы.

Примечание. Оценка «5» может быть поставлена, несмотря на наличие 1-2 недочетов, если ученик дал оригинальное решение заданий, свидетельствующее о его хорошем математическом развитии.

Оценка письменной работы на решение текстовых задач

Оценка «5» ставится в том случае, когда задача решена правильно: ход решения задачи верен, все действия и преобразования выполнены верно и рационально; в задаче, решаемой с вопросами или пояснениями к действиям, даны точные и правильные формулировки; в задаче, решаемой с помощью уравнения, даны необходимые пояснения; записи правильны, расположены последовательно, дан верный и исчерпывающий ответ на вопросы задачи; сделана проверка решения.

Оценка «4» ставится в том случае, если при правильном ходе решения задачи допущена 1 негрубая ошибка или 2-3 недочета.

Оценка «3» ставится в том случае, если ход решения правилен, но допущены: а) 1 грубая ошибка и не более 1 негрубой; б) 1 грубая ошибка и не более 2 недочетов; в) 3-4 негрубые ошибки при отсутствии недочетов; г) допущено не более 2 негрубых ошибок и 3 недочетов; д) более 3 недочетов при отсутствии ошибок.

Оценка «2» ставится в том случае, когда число ошибок превосходит норму, при которой может быть выставлена положительная оценка.

Примечание. 1.Оценка «5» может быть поставлена, несмотря на наличие описки или недочета, если ученик дал оригинальное решение заданий, свидетельствующее о его хорошем математическом развитии. 2. положительная оценка «3» может быть выставлена ученику, выполнившему работу не полностью, если он безошибочно выполнил более половины объема всей работы.

Оценка комбинированных письменных работ по математике

Письменная работа по математике, подлежащая оцениванию, может состоять из задач и примеров (комбинированная работа). В таком случае преподаватель сначала дает предварительную оценку каждой части работы, а затем общую, руководствуясь следующим: а) если обе части работы оценены одинаково, то эта оценка должна быть общей для всей работы целиком; б) если оценки частей разнятся на 1 балл, то за работу в целом, как правило, ставится балл, оценивающий основную часть работы; в) если одна часть работы оценена баллом «5», а другая – «3», то преподаватель может оценить такую работу в целом баллом «4» при условии, что оценка «5» поставлена за основную часть

работы; г) если одна часть работы оценена баллом «5» или «4», а другая – баллом «2» или «1», то преподаватель может оценить всю работу баллом «3» при условии, что высшая оценка поставлена за основную часть работы.

Примечание. Основной считается та часть работы, которая включает больший по объему или наиболее важный по значению материал по изучаемым темам программы.

Оценка текущих письменных работ

При оценке повседневных обучающих работ по математике учитель руководствуется указанными нормами оценок, но учитывает степень самостоятельности выполнения работ учащимися.

Обучающие письменные работы, выполненные учащимися вполне самостоятельно

• применением ранее изученных и хорошо закрепленных знаний, оцениваются так же, как и контрольные работы.

Обучающие письменные работы, выполненные вполне самостоятельно, на только что изученные и недостаточно закрепленные правила, могут оцениваться менее строго.

Письменные работы, выполненные в классе с предварительным разбором их под руководством учителя, оцениваются более строго.

Домашние письменные работы оцениваются так же, как классная работа обучающего характера.

Промежуточная аттестация: итоговая оценка за четверть и за год

• соответствии с особенностями математики как учебного предмета оценка за письменные работы имеют большее значение, чем оценки за устные ответы и другие виды работ.

Поэтому при выведении итоговой оценки за четверть «среднеарифметический подход» недопустим – такая оценка не отражает достаточно объективно уровень подготовки и математического развития ученика. Итоговую оценку определяют, в первую очередь, оценки за контрольные работы, затем – принимаются во внимание оценки за другие письменные и практические работы, и лишь в последнюю очередь – прочие оценки. При этом учитель должен учитывать и фактический уровень знаний и умений ученика на конец четверти.

Итоговая оценка за год выставляется на основании четвертных оценок, но также с обязательным учетом фактического уровня знаний ученика на конец года.

Примерные нормы оценок для классов с недостаточной математической подготовленностью

Обучение математике в таких классах преследует достижение ряда педагогических целей: Общеобразовательных (овладение учащимися всем объемом математических знаний, умений, навыков, заданным Образовательными стандартами); Воспитательных (формирование важнейших нравственных качеств, готовности к труду); Коррекционных (совершенствование различных сторон психики школьника); Развивающих (развитие логических умений и математического стиля мышления); Практических (формирование умения применять математические знания в конкретных жизненных ситуациях).

Эти особенности педагогического процесса в классах с недостаточной математической подготовкой требуют – наряду с изменением содержания и организации обучения – и корректировки оценочной деятельности учителя. Оценка в таком классе в большей степени должна быть поощрением для ученика, стимулом для его работы по самосовершенствованию, а также над ликвидацией имеющихся пробелов в

математической подготовке. Методическое объединение учителей математики образовательного учреждения вправе принять для таких классов более мягкие, щадящие нормы оценок за письменные работы, в частности, отказаться от градации ошибок. Например: «5» ставится, если все задания выполнены без ошибок или имеются 1-2 недочета; «4» — если допущены 2-3 ошибки и 2-3 недочета; «3» — если допущены 4 ошибки и 4-5 недочетов; «2» — 4 ошибки и 5-6 недочетов.

Примечание. 1. при оценке контрольных работ орфографические ошибки отмечаются, но не влияют на оценку. Орфографическая ошибка в математическом термине является недочетом. 2. учащимся, имеющим нарушения моторики, левшам не снижается оценка за почерк и качество выполняемых построений геометрических объектов

Библиографическое описание:

Жидкова, А. Е. Нормы оценки знаний обучающихся по математике / А. Е. Жидкова, Е. И. Титова. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2014. — № 1 (60). — С. 522-523. — URL: https://moluch.ru/archive/60/8640/ (дата обращения: 12.06.2023).

В данной статье говориться об оценке математических знаний по пятибалльной системе. Выделяются основные требования к письменным и устным ответам для получения определенной отметки. Приведена классификация ошибок.

Ключевые слова:оценка знаний по математике, математические ошибки.

Математика одна из основных фундаментальных наук, которая лежит в основе многих дальнейших дисциплин, осваиваемых обучающими. Поэтому полученные знания, умения и навыки в школьном курсе математики очень важны для дальнейшего обучения. Правильная оценка учителем базы знаний по каждой теме дает полноценную картину всей системы знаний по дисциплине. В математике главную роль, конечно, играют письменные работы, решение примеров и задач, но также содержится и определенный процент устных ответов, таких как знание теорем, основных определений и т. д. Нам хотелось бы выделить основные требования к качеству знаний для получения определенной оценки по пятибалльной системе.

Оценка письменных контрольных работ:

Отметка «5» ставиться, если:

—          работа полностью вся выполнена;

—          в решении все рассужено логически и без ошибок, не допущено никаких пробелов;

—          в решении нет вычислительных ошибок (возможна описка, которая не является следствием незнания или непонимания учебного материала).

Отметку «4» ставят в следующих случаях:

—          работа полностью выполнена, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение логически рассуждать не являлось специальной целью проверки);

—          допущено пару ошибок или имеется два-три недочёта в рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работ не являлись специальным целью проверки).

Отметку «3» можно поставить, если:

—          допущено более одной ошибки или более двух-трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но обучающийся обладает обязательными умениями по проверяемой теме.

Отметку «2» ставят, если:

—          за грубые существенные ошибки, говорящие о том, что обучающийся не обладает определенными знаниями и умениями по данной теме в нужном объеме.

Отметку «1» ставят, если:

—          выполненное задание отображает полное отсутствие у обучающегося обязательных знаний и умений по проверяемой теме, а также если он не способен выполнять задания самостоятельно.

Оценка устных ответов по математике

Отметкой «5» оцениваем устный ответ, если:

—          полно раскрыто содержание материала в объеме, предусмотренном программой и учебником;

—          материал изложен логично и изъяснен грамотным языком, верно используется математическая терминология и символика;

—          правильно нарисованы рисунки, чертежи, графики, сопутствующие ответу;

—          приведены конкретные примеры, на излагаемую тему, видны умения применять ее в новой ситуации при выполнении практического задания;

—          продемонстрировано знание теории ранее изученных сопутствующих тем, своевременно используемых при ответе;

—          не требовалось наводящих вопросов учителя;

—          возможны одна-две неточности при освещение второстепенных вопросов, которые ученик легко исправил после замечания учителя.

Отметкой «4» оцениваем ответ, если он в принципе удовлетворяет требованиям на оценку «5», но при этом имеет один из недочетов:

—          математическое содержание сохранено, но имеются небольшие неточности;

—          допущены один-два недочета при освещении основного содержания ответа, исправленные после замечания учителя;

—          допущена ошибка или недочет при изложении не основного материала, но легко исправленные после замечания учителя.

Отметкой «3» оцениваем ответ в следующих случаях:

—          содержание материала изложено фрагментарно, не всегда последовательно, но общее понимание вопроса не вызывает сомнения, продемонстрированы умения, достаточные для усвоения программного материала;

—          были замечены затруднения или допущены ошибки в определении математической терминологии, чертежах, исправленные после нескольких наводящих вопросов учителя;

—          учащийся не может применить изучаемый теоретический материал в новой ситуации, способен лишь на тривиальное применение практического задания;

—          имеется достаточная база знаний, но не в полной мере сформированы умения и навыки.

Отметкой «2» оцениваем в следующих случаях:

—          не раскрыто основное содержание учебного материала;

—          ученик не знает основной материал по данной теме;

—          допущены ошибки в определении понятий, при использовании математической терминологии, в рисунках, чертежах или графиках, которые не исправлены после нескольких наводящих вопросов учителя.

Отметкой «1» оцениваем ответ, если:

—          показано полное незнание и непонимание изучаемого учебного материала, не получено ни одного ответа на задаваемые вопросы по изученному материалу.

У педагога всегда есть возможность изменить отметку, а именно, он может повысить ее за оригинальный ответ на вопрос или оригинальное решение задачи, которые свидетельствуют о высоком математическом развитии обучающегося; за решение более сложной задачи или ответ на более сложный вопрос, предложенные обучающемуся дополнительно после выполнения им каких-либо других заданий.

Говоря про постановку оценки за знания, мы подразумеваем, что чем выше оценка, тем меньше ошибок. Поэтому хотелось бы добавить про классификацию ошибок, а именно выделить, что относится к грубым, негрубым ошибкам, а что можно считать недочетом.

Грубыми считаются ошибки:

—          незнание определения основных понятий, законов, правил, основных положений теории, незнание формул, общепринятых символов обозначений величин, единиц их измерения;

—          незнание наименований единиц измерения;

—          неумение выделить в ответе главное;

—          неумение применять знания, алгоритмы для решения задач;

—          неумение делать выводы и обобщения;

—          неумение читать и строить графики;

—          неумение пользоваться первоисточниками, учебником и справочниками;

—          потеря корня или сохранение постороннего корня;

—          отбрасывание без объяснений одного из них;

—          равнозначные им ошибки;

—          вычислительные ошибки, если они не являются опиской;

—          логические ошибки.

К негрубым ошибкам следует отнести:

—          неточность формулировок, определений, понятий, теорий, вызванная неполнотой охвата основных признаков определяемого понятия или заменой одного — двух из этих признаков второстепенными;

—          неточность графика;

—          нерациональный метод решения задачи или недостаточно продуманный план ответа (нарушение логики, подмена отдельных основных вопросов второстепенными);

—          нерациональные методы работы со справочной и другой литературой;

—          неумение решать задачи, выполнять задания в общем виде.

Недочетами являются:

—          нерациональные приемы вычислений и преобразований;

—          небрежное выполнение записей, чертежей, схем, графиков.

Выделенные требования, за какие умения можно ставить определенную оценку и четкое представление, что считается грубой ошибкой, а что недочетом, позволят учителю грамотно оценить ученика.

Литература:

1.     Гребенев И. В., Ермолаева Е. И., Круглова С. С. Математическая подготовка абитуриентов — основа получения профессионального образования в университете// Наука и школа, № 6, 2012г. С 27–31.

2.     Стандарт основного общего образования по математике.

ВЫСТУПЛЕНИЕ

на РМО математиков

«Диагностика типичных ошибок

при решении задач»

Учитель математики

МБОУ «Ливенская СОШ №1»

Чебакова Галина Владимировна

Одним из вопросов методики преподавания математики является вопрос формирования у учащихся умений и навыков решения текстовых задач.

Задачи являются материалом для ознакомления учащихся с новыми понятиями, для развития логического мышления, формирования межпредметных связей. Задачи позволяют применять знания, полученные при изучении математики, при решении вопросов, которые возникают в жизни человека. Этапы решения задач являются формами развития мыслительной деятельности.

«На ошибках учатся», — гласит народная мудрость. Но для того, чтобы извлечь урок из негативного опыта, в первую очередь, необходимо увидеть ошибку. К сожалению, школьник зачастую не способен ее обнаружить при решении той или иной задачи.

Целенаправленная работа над ошибками требует их систематизации. При этом главную роль должны сыграть группы ошибок, которые объединены общими причинами их появления, общей методикой работы над ними. Такая систематизация ошибок позволяет наметить пути их исправления и предупреждения этих ошибок в дальнейшем.

Широко известны серьезные трудности, которые испытывают учащиеся при решении задач.

1. Ошибки и недочёты, которые обусловлены невниманием к формированию теоретико-множественных представлений учащихся:

• ошибки, связанные с недостаточно чётким владением понятиями множества, элемента множества, отношения принадлежности, равенства множеств;

• ошибки, которые возникают в результате недостаточно чёткого владения операциями пересечения и объединения множеств.

2. Ошибки, которые связаны с недостаточной логической подготовкой учащихся:

• ошибки, связанные с непониманием структуры теоремы;

• ошибки, которые обусловлены непониманием зависимости между прямой и обратной теоремами;

• ошибки, связанные с непониманием метода доказательства от противного.

3. Ошибки, которые допускают учащиеся из-за отсутствия и неустойчивости самоконтроля.

• Первая трудность состоит в математизации предложенного текста, т.е. в составлении математической модели, которая может представлять собой уравнение, неравенство или их систему, диаграмму, график, таблицу, функцию и т.д.

• Для того, чтобы перевести содержание задачи на математический язык, учащемуся необходимо тщательно изучить и правильно истолковать его, формализовать вопрос задачи, выразив искомые величины через известные величины и введенные переменные.

• Вторая трудность — составление уравнений и неравенств, связывающих данные величины и переменные, которые вводит учащийся.

• Третья трудность — это решение полученной системы уравнений или неравенств желательно наиболее рациональным способом.

Проанализируем некоторые типичные ошибки учащихся, допускаемых при решении тренировочных заданий для подготовки к ГИА

• Зачастую при решении задач на движение учащиеся не обращают внимание на то, что скорость дана в одних единицах измерения, а время или расстояние в других, поэтому логически рассуждение строится верно, но в результате задача не решена. Что очень важно при ГИА, ЕГЭ – 1 части.

• При сопоставлении текста задачи и уравнения для её решения уч-ся обозначают за х не ту величину, которая предложена им в задании.

(Скорость первого велосипедиста на 3 км/ч больше скорости второго, поэтому на путь длинной 20 км ему потребовалось на 20 мин. Меньше, чем второму. Чему равны скорости велосипедистов? Пусть х км/ч скорость первого велосипедиста.)

Типичные ошибки:

20: (х+3)-20:х=20

• При решении задач на проценты ( подорожание , скидки) учащиеся повторное изменение величины находят, не применяя правила нахождения части от предыдущей цены, путём сложения и вычитания процентов.

(Магазин закупил на складе футболки и стал продавать их по цене, приносящей доход в 40 % . В конце года цена была снижена на 50 %. Какая цена меньше: та, по которой магазин закупил футболки, или цена в конце года – и на сколько процентов .

Типичные ошибки: 100+40-50=90% Разница на 10 %.))

Рассмотренные ошибки и недочёты типичны на всех ступенях обучения.

Рассмотренные ошибки свидетельствуют о том, что ученики, не справившиеся с решением задач, не смогли представить себе жизненной ситуации, отраженной в задаче, не уяснили отношений между величинами в ней, зависимости между данными и искомым, а поэтому просто механически манипулировали числами.

Почему учащиеся допустили много ошибок при повторном решении знакомых задач? Анализ результатов позволяет сделать вывод о том, что одна из основных причин допускаемых детьми ошибок в решении текстовых задач – неправильная организация первичного восприятия учащимися условия задачи и ее анализа, которые проводятся без должной опоры на жизненную ситуацию, отраженную в задаче, без ее предметного или графического моделирования. Как правило, в процессе анализа используются лишь различные виды краткой записи условия или готовые схемы, а создание модели на глазах у детей или самими детьми в процессе разбора задачи применяется крайне редко. К тому же при фронтальном анализе и решении задачи учитель нередко ограничивается правильными ответами двух-трех учеников, а остальные записывают за ними готовые решения без глубокого их понимания, т.е. не проводятся все этапы работы над задачей.

Для устранения этих недостатков необходимо прежде всего улучшить методику организации первичного восприятия и анализа задачи, чтобы обеспечить осознанный и доказательный выбор арифметического действия всеми учащимися.

Типичные методические ошибки учителя при работе с текстовыми задачами

Ошибка 1. Пропуск этапа анализа условия задачи.

«Прочитайте условие задачи. Кто пойдет к доске?» – такое часто можно видеть на уроке. И сразу начинается оформление решения. Этап анализа отсутствует и в некоторых учебниках, и в решебниках. Может быть, проведение этого этапа обязательно не для всех учащихся. В классе найдутся такие ученики, у которых этап анализа свернут. Они его проходят очень быстро, поэтому сразу видят решение и переходят к его оформлению. Задача педагога – помогать тем, у которых не получается. Решение задачи основывается на тех связях, которые существуют между данными и искомыми величинами. На выделение этих связей и направлен анализ условия задачи. Чтобы помочь учащимся самостоятельно осуществлять анализ условия, преподаватель может предложить им специальные памятки.

Ошибка 2. Пропуск этапа поиска решения.

Пропуск этого этапа ведет к недопониманию учащимися сущности эвристической деятельности, и как результат, к возникновению трудностей при самостоятельном решении задач. В практике обучения традиционной является ситуация, когда учитель вызывает к доске учащегося, который знает, как решить задачу. Однако при личностно ориентированном обучении основная забота учителя должна быть связана с теми, кто испытывает затруднения при самостоятельном решении задач.

Тем же учащимся, которые без учителя могут решать задачи, необходимо подбирать задания, усиливающие их умения и способствующие их развитию (составить задачи на основе справочных данных; рассмотреть другие способы решения предложенной задачи; составить граф-схемы других уравнений по задаче и др.)

Ошибка 3. Пропуск этапа исследования решения.

Зачем нужен этот этап? На этапе исследования выясняем, соответствует ли полученный ответ условию задачи (правдоподобность результата); есть ли другие способы решения; что полезного можно извлечь на будущее из решенной задачи. Последний вопрос позволяет рассматривать каждую задачу как звено в общем умении решать задачи, что ведет к накоплению опыта по решению задач.

Ошибка 4. Смешение этапов анализа и поиска решения.

Чтобы этого избежать, надо точно знать, какую цель мы преследуем на каждом этапе. Цель этапа анализа условия – выявить все имеющиеся связи между данными и искомыми величинами, чему помогает составление таблицы (схемы, рисунка). Цель этапа поиска решения – выбрать метод решения (алгебраический или арифметический) и составить план решения. Цели этапов разные, значит, и смешивать эти этапы никак нельзя.

• Если для решения задачи выбран алгебраический метод, то поиск ведем по следующим этапам:

определяем условия, которые могут быть основанием для составления уравнения, и выбираем одно из них;

составляем схему уравнения, соответствующего выбранному условию;

определяем, какие величины можно обозначить за х; выбираем одну из них;

определяем, какие величины нужно выразить через х, и находим условия, которые позволяют это сделать.

Завершается этап поиска составлением плана решения задачи.

Ошибка 5. На этапе анализа условия фиксируются не все связи между величинами.

Надо стараться зафиксировать как можно больше таких связей. Почему это важно? Упустив какую-нибудь связь, мы можем потерять:

условие для составления уравнения;

возможность одну величину выразить через другие;

предусмотреть несколько способов решения.

Ошибка 6. Поиск решения задачи алгебраическим методом начинается с выбора переменной.

Обратим внимание на то, что при перечислении этапов, которые мы проходим при поиске решения задачи алгебраическим методом, сначала был назван выбор условия для составления уравнения, затем составление схемы уравнения, и только тогда мы вводим переменную. На практике мы почти везде видим иное: сначала вводят переменную, затем выражают остальные величины через нее и затем составляют уравнение. Вот этот момент настолько «закостенел» в нашем сознании, что от него отказаться очень трудно.

На самом деле, лучше делать «по-новому». Представьте себя на месте ученика в классе. Рассмотрим ситуацию, когда не были проведены этапы анализа и поиска решения, к доске вызван ученик, который знает, как решить задачу, и он начинает: «За х обозначим…» И что же наш ученик, который затрудняется в самостоятельном решении? Мы из решения сделали тайну непостижимую. «Как он угадал, что обозначить за х?» И когда он будет пробовать дома решать задачу, у него сразу закрадывается сомнение: «А вдруг я не угадаю?»

И насколько спокойнее и увереннее чувствует себя наш ученик, если у него есть карточка по проведению анализа и поиска решения задач; он смог составить по условию задачи таблицу; найти несколько условий для составления уравнений; записать схему уравнения для выбранного условия. Ученик знает, что за х можно обозначить любую из неизвестных величин, и, если не получится уравнение по одной схеме, то можно попробовать составить его по другой схеме.

Ошибка 7. Постановка частных, подсказывающих вопросов учащимся.

Очень много зависит от умения ставить (задавать) вопросы учащимся. Вопросы не должны нести в себе подсказку, а подталкивать учащихся к размышлению. Вместо вопросов: «Во сколько туров проходила олимпиада?», «Как распределились посевные площади?», «Какое время находились туристы в пути?», «Какие машины находятся в автопарке?» лучше задавать общие вопросы: «Что происходит по условию задачи?», «Какие объекты участвуют в задаче?», «Какие части можно выделить в задаче?». Вместо вопроса «Можно ли найти такую-то величину?» лучше задать вопрос: «Что можно найти по данным задачи?», поскольку он может вывести на несколько вариантов решения.

Задавая вопросы, учитель не должен вести учащихся к своему решению; нужно рассмотреть все пути решения, выслушать и обсудить все варианты.

2.Для осуществления целенаправленных мер по исправлению и предупреждению ошибок учителю необходимо систематически изучать ошибки учащихся, выявлять наиболее устойчивые и типичные из них, вести учёт распространённых и индивидуальных ошибок учащихся. Знание учителем типичных ученических ошибок, а также причин их возникновения и проявления даёт ему возможность предвидеть и предупреждать их появление. Достичь этого можно путём подбора таких упражнений, которые препятствуют образованию односторонних ассоциаций и неправильных обобщений.

Ошибки учащихся, которые регистрирует и учитывает учитель, помогают ему установить, что не понимают учащиеся, что ими плохо усвоено; это даёт возможность учителю своевременно ликвидировать пробелы в знаниях учащихся и внести соответствующие коррективы в дальнейшее преподавание с целью предупреждения повторения аналогичных ошибок.

Чтобы определить сущность допускаемых учащимися ошибок, необходимо проследить ход рассуждений, который приводит к такому ошибочному решению, установить этап, на котором зарождаются такие ошибки. Как показывает опыт, часто учащемуся непонятен не весь материал, а лишь какая-то его часть. Выявив, что именно непонятно ученику, можно сосредоточить на этом материале всё внимание, не отвлекаясь на те моменты, которые уже усвоены.

Допускаемые учеником ошибки свидетельствуют не только о недостатках его знаний, но и о потенциальных возможностях. Ошибки служат также показателем проблем, которые могут быть поставлены перед учеником, а иногда они приводят к созданию проблемных ситуаций, которые необходимы в данный момент для развития действий.

Ни в коем случае нельзя снижать оценок ученикам за ошибки в процессе поиска. Очень важно приучить их не бояться допускаемых ошибок. Ошибки, допускаемые учениками, надо исправлять тактично, обоснованно, привлекая к этой работе самих учащихся.

Боязнь допустить ошибку сковывает инициативу ученика. Боясь ошибиться, он не будет сам решать поставленную проблему, а станет ждать помощи от учителя. Он будет решать только лёгкие проблемы. Но без такого самостоятельного решения задач с последовательно нарастающей сложностью не может происходить интеллектуальное развитие. Во многих случаях по этой причине учащиеся проявляют робость и интеллектуальную пассивность, что в дальнейшем приводит к неуспеваемости.

Очень оживлённо воспринимаются учащимися “Задачи на выявление ошибки”. Речь идёт не только о софизмах, но и об ошибках, которые допускают сами школьники. Не нужно специально исправлять каждое ошибочное утверждение школьника. Лучше поставить это утверждение на обсуждение всего класса и добиться осознанного исправления ошибки. Если они и не допускают ошибок, то всё же нередко целесообразно проверить, насколько они “устойчивы” против типичных ошибок.

Например: Найти ошибки:

Процесс отыскания и исправления ошибок самими учащимися под руководством учителя можно сделать поучительным для учащихся, в результате чего изучение и анализ ошибок становится эффективным средством в развитии познавательного интереса к изучению математики.

Для исправления и предупреждения многих ошибок важно сформировать у школьников навыки самоконтроля. Эти навыки состоят из двух частей: а) умения обнаружить ошибку; в) умения её объяснить и исправить.

В процессе обучения применяются несколько приёмов самоконтроля, которые помогают обнаружить допущенные ошибки и своевременно их исправить. К ним относятся:

• проверка вычисления и тождественного преобразования путём выполнения обратного действия или преобразования;

• проверка правильности решения задач путём составления и решения задач, обратных к данной;

• оценка результата решения задачи с точки зрения здравого смысла;

• проверка аналитического решения графическим .

Выработке навыков самоконтроля помогает и приём приближённой оценки ожидаемого результата. Установление возможных пределов ожидаемого ответа предупреждает недочёты типа описок, пропуска цифр.

Например, рассмотрим задачу: “За неделю завод выпустил 130 холодильников, выполнив месячный план на 25%. Сколько холодильников должен выпустить завод за месяц по плану”.

Пусть решение ученика выглядит так: . Ошибка становится очевидной, если перед решением ученик прикинет в уме: “За неделю завод выпустил 130 холодильников. Следовательно, за месяц он выпустит больше. Значит, ответ должен быть больше, чем 130”. Такая прикидка в уме полезна при решении задач с дробными числами и процентами.

В жизненной практике в чертежах, схемах, расчётах, с которыми ребята будут встречаться, могут быть и ошибки. Если не научить их критически относиться к данным, то могут быть и аварии, и брак, и серьёзные упущения в работе. Чтобы этого избежать, необходимо формировать у учащихся умение анализировать данные, способность обнаруживать встречающиеся ошибки и обосновывать ошибочность положения.

Польский математик Г. Штейнгауз, отмечая большое значение работы над математическими ошибками для активизации мыслительной деятельности учащихся, пишет:

“Если учащегося заверить, что в предложенном ему доказательстве есть ошибка, то можно быть уверенным даже без специальной проверки, что материал будет изучен полностью и очень тщательно”. Поэтому составление списка математических ошибок и использование его в учебных целях является одним из важных факторов повышения эффективности обучения.

Таким образом, важную роль в предупреждении ошибок играет продуманная организация изучения нового материала. Изучение нового материала надо строить так, чтобы ученик был активным участником этого процесса. Не надо бояться, если при первом изложении материала им будут допускаться ошибки, высказываться необоснованные выводы. Важно, чтобы те или иные ошибки в понимании материала исправлялись в зародыше, чтобы ученики воспринимали материал осознанно.

Такому подходу к изучению нового материала способствует создание проблемной ситуации и решение её учащимися под руководством учителя. На таких уроках ученики проходят через следующие стадии: поиск нового, возможное появление ошибок в процессе поиска нового, обоснованное опровержение этих ошибок, снова поиски, в результате которых приходят к правильной догадке, и, наконец, доказательство составленного в поисках предложения. Всё это способствует развитию математического мышления.

Текстовые задача — это способ стимулирования мыслительной активности. Считаю необходимым сформировать такой подход к задаче, при котором задача выступает как объект тщательного изучения, а ее решение — как объект конструирования и изобретения. Необходимо построить процесс обучения математике так, чтобы обеспечить успешное овладение учащимися методами и приемами решения задач и создать условия для формирования у них ряда общенаучных умений — таких, как анализ, синтез, обобщение, сравнение, аналогия.

Необходимо организовать деятельность учащихся на учебном занятии таким образом, чтобы она способствовала формированию исследовательской культуры.

Предлагаю на занятии несколько приемов организации интенсивной мыслительной деятельности, которые используются мною на различных этапах процесса обучения: при актуализации знаний, первичном усвоении материала, его осмыслении, применении и обобщении.

Это можно сделать на следующем содержании материала:

1. Правоцирующие задачи.

Это задачи, условия которых содержат упоминания, указания, намеки или другие побудители, подталкивающие учащихся к выбору ошибочного пути решения или неверного ответа. Попадая в заранее подготовленную ловушку, ученик испытывает досаду, сожаление оттого, что не придал особого значения тем нюансам условия, из-за которых он угодил в неловкое положение. Простое сообщение о том, что учащиеся, как правило, допускают в заданиях такого-то рода ошибки, несравнимо менее действенно. Ибо оно, несмотря на общность, не является для конкретно взятого ученика личностно значимым, поскольку, во-первых, события, о которых сообщается, происходили когда-то давно, в прошлом, не сейчас, а во-вторых, каждый из учащихся наивно полагает, что в число неудачников сам он не попадает.

Дидактическая ценность этих задач в том, что они служат предупреждением от различного рода ошибок и заблуждений.

Провоцирующие задачи обладают высоким развивающим потенциалом, они способствуют воспитанию одного из важнейших качеств мышления- критичности, приучают к анализу воспринимаемой информации, ее разносторонней оценке, повышают интерес школьников к занятиям математикой.

Я использую такие разновидности провоцирующих задач:

1. условия, в которых навязывают неверный ответ;

2. условия, которые подсказывают неверный путь решения;

3. условия, вводящие в заблуждение из-за неоднозначности трактовки и т.д.

В качестве примера приведу задачи, побуждающие выбор неверного способа решения.

Тройка лошадей проскакала 15 км. Сколько километров проскакала каждая лошадь?

Или, на уроке в 6 классе по теме «Простые и составные числа» предлагаю задание: «Какие из чисел 205, 206, 207, 208, 209, 210 являются простыми?»

2.Задачи стандартные с нестандартным решением.

Это задачи, при предъявлении которых учащиеся не знают заранее ни способа их решений, ни того, на какой учебный материал опирается решение. Иными словами, учащиеся в ходе решения таких задач должны провести поиск плана решения задачи, установить, какой теоретический материал дает ключ к тому или иному решению. Незначительная обработка условий той или иной задачи из учебника, изменение места и времени ее постановки существенно меняют ее дидактическую значимость, оставляя неизменным практическое содержание.

Проиллюстрирую сказанное примером. Стандартная задача для учащихся 7 класса: «В клетке находится неизвестное число фазанов и кроликов. Известно, что вся клетка содержит 35 голов и 94 ноги. Сколько фазанов и кроликов в клетке?». Данную задачу предлагаю решить не алгебраическим способом, приводя к стандартному уравнению, а арифметическим. Таким образом, по существу, данную задачу превращаем в нестандартную для шестиклассников и даже семиклассников.

Задачи такого плана всегда органически связаны с изучаемым материалом. Допуская нестандартное решение, приучаю школьников не довольствоваться шаблоном, а нацеливаю на вдумчивый подход, воспитываю стремление как можно лучше выполнить порученное дело. Они развивают гибкость, рациональность, целенаправленность математического мышления и ценны тем, что дается возможность каждому ученику с любой структурой мышления проявить себя.

3. Проблемные задачи.

Это задачи, алгоритм решения которых неизвестен до начала решения. Главное в том, чтобы открыть способ решения и убедиться в его пригодности. Следует иметь в виду, что определить, является данная задача проблемной или нет, можно только относительно конкретного школьника, только с учетом его знаний и умений в момент постановки задачи.

Задачи такого плана решаются исследовательским методом и этим очень интересны для учащихся. Ведь исследование предполагает творчество. Проблемы, которые ставятся перед учащимися, могут иметь разнообразный характер: введение в новую тему, решение задачи новым более эффективным способом, связь известного учебного материала с новым и т.д.

При подборе проблемных задач учитываю знания учащихся и уровень развития их логического мышления, поскольку непосильная задача порождает неуверенность в своих силах и в дальнейшем отвращение от решения любых задач, а излишне простая вводит в заблуждение относительно уровня собственных знаний и умений, не стимулирует поисковую деятельность.

Самое главное- это суметь правильно поставить вопрос, заинтриговать учащихся, создать проблему, а не дать ответ, решив ее. Учащиеся познают понятия, закономерности, теории в ходе поиска, наблюдения, анализа фактов, мыслительной деятельности, результатом чего является знание.

Приведу пример задачи из темы «Смежные углы» (геометрия 7 класс).

Найти два смежных угла, один из которых больше другого на прямой угол.

Возможны различные варианты решения, в частности, алгебраический и геометрический. Здесь проблемный характер проявляется в неявной форме, но ученики понимают непригодность геометрического способа решения.

Другой пример. В 5 классе в ходе изучения темы «Сравнение десятичных дробей» предлагаю вариант решения задания на сравнение дробей 0,31 и 0,6 ученика Петрова. Если целые части дробей равны, сравним дробные части: 316, значит, 0,310,6. Согласны ли вы с таким решением? Начинается обсуждение, поиск, анализ решения.

1. Логические задачи.(задачи-шутки, таблицы, верные и неверные утверждения, здравый смысл)

Это задачи, ведущие к формированию важнейших характеристик творческих способностей: беглость мысли, гибкость ума, оригинальность, любознательность, умение выдвигать и разрабатывать гипотезы.

Опыт работы показывает, что глубокие, прочные и, главное, осознанные знания могут получить все школьники, если развивать у них не столько память, сколько логическое мышление. Логика учит, как нужно рассуждать, чтобы наше мышление было определенным, связанным, последовательным, доказательным и непротиворечивым. В математике приходится путем рассуждений выводить разнообразные формулы, числовые закономерности, правила, доказывать теоремы.

Основные методы решения логических задач:

• метод рассуждения;

• метод таблицы;

• метод граф;

• метод кругов Эйлера;

• комбинированный метод.

Метод рассуждений сопровождаю схемами, чертежами, краткими записями, вырабатывая умения выбирать информацию, пользоваться правилом перебора.

Так, при изучении темы «Степень» в 7 классе, я даю задание: запишите степени x, x², x³, x⁴, x⁵, x⁶, x⁷, x⁸, x⁹ в пустые клетки квадрата так, чтобы произведение их по любой горизонтали, вертикали и диагонали было равно x в 15 степени. Можно рассказать о магическом квадрате, тогда задача станет еще интереснее для учеников.

Таблицы хорошо применять тогда, когда устанавливается соответствие между двумя множествами (можно и между тремя множествами), когда количество элементов во множествах одинаково и неодинаково. Перед составлением таблиц отрабатываю правила их заполнения.

Например, в 5 классе знакомлю детей с задачей Пуассона (на переливание). Некто имеет 12 пинт сока (пинта- 0,57л) и желает подарить половину своему другу, но у него нет сосуда в 6 пинт, а есть два сосуда в 8 и 5 пинт. Каким образом можно налить 6 пинт сока в сосуд емкостью 8 пинт?

Решение.

Логические связи, при помощи которых была выстроена общая схема решения задачи, помогут учащимся без труда решить подобного рода задачу.

Введение серии таких задач в содержание урока считаю необходимым. Это позволит стереть явную границу между занимательным и учебным материалом. Особенно целесообразно использовать задачи тогда, когда есть опасность неприятия учащимися какого-либо учебного задания; при прохождении сложных тем; при выработке умений и навыков учащихся, когда требуется выполнить значительное количество однотипных упражнений; при изучении материала, подлежащего прочному запоминанию.

Для каждой задачи, которую предполагаю использовать на уроке, прежде выясняю: будет ли она интересна классу, органично ли войдет в структуру урока, будет ли ее использование эффективным. Практика показала: учебный навык, на формирование которого направлена та или иная задача, вырабатывается быстрее, ибо он связан с продуктивной мыслительной деятельностью ученика.

При работе над провоцирующими, проблемными, логическими и стандартными с нестандартным решением задачами наиболее эффективной считаю групповую, парную, индивидуальную, фронтальную работу.

Приведу пример. Расстояние от реки до турбазы туристы рассчитывали пройти за 6 часов. Однако после 2 часов пути они уменьшили скорость на 0,5 км/ч и в результате опоздали на турбазу на 30 мин. С какой скоростью шли туристы первоначально?

Работа над задачей предполагает следующие действия учителя:

1. Предъявление задачи (читает учитель).

2. Определение вида задачи (творческая группа).

3. Выделение гипотез (индивидуальная самостоятельная работа).

4. Обмен мнениями (в творческой группе).

5. Формулировка предположительного ответа (в паре).

6. Проверка ответа на достоверность (фронтальная работа).

Или, задача. Определить площадь равнобедренной трапеции, у которой основания равны 12см и 20см, а диагонали взаимно перпендикулярны.

1. Предъявление задачи (творческие группы составляют задачи по готовому чертежу).

2. Выделение гипотез (работа в парах).

3. Обмен мнениями (фронтальная работа).

4. Формулировка предположительного ответа (индивидуальная работа).

5. Проверка ответа на достоверность (индивидуальная работа).

Обязательным этапом на уроке является устный и письменный счет. Целями устного счета являются, во-первых, совершенствование в вычислительных навыков, во-вторых, развитие творческого мышления учащихся.

На своих уроках я стараюсь разнообразить формы и методы устной работы:

— устный счет в начале, в середине, в конце урока;

• устная форма проверки домашнего задания;

• устная форма творческой работы;

• устные самостоятельная и контрольная работы;

• уроки устной работы.

Работая устно, воспитываю у учащихся навыки сознательного усвоения изучаемого материала, приучаю ценить и экономить время, развиваю желание поиска рациональных путей решения задачи. В этих целях использую такие приемы, развивающие творческие способности, как «Зашифрованные задания», «Найди ошибку», «Восстановление»,

«Выбор», «Задачи- сказки», детские презентации на устный счёт, математические листы с задачами, изготовленные самими учащимися, ребусы, кроссворды, которые учащиеся составляют самостоятельно.

Обязательно провожу подробный анализ результатов работы и коррекцию знаний. Объявляя количество набранных баллов, полученных за олимпиадное задание, называю ребят, которые представили самые «красивые» решения. При этом опираюсь на формулу «красивой» задачи по В.Г. Болтянскому: красивая задача = непредсказуемость + непредполагаемость +неожиданность + удивительная простота + простота + фантазия + революционный шаг + удивление + оптимизм + труд + …

Таким образом, решение текстовых задач не случайно всегда волновало учителей, методистов, да и самих учащихся и их родителей.

Во-первых, нельзя решить задачу, не поняв ее содержание. Следовательно, умение решать текстовые задачи свидетельствует об одной из самых важных способностей человека — способности понимать текст. Правы те учителя, которые добиваются понимания текста не только на уроках чтения, но и на уроках математики. Критерием понимания задачи является факт решения задачи.

Поэтому решение текстовых задач — это деятельность, весьма важная для общего развития. Обучая решать текстовые задачи, мы приучаем ориентироваться в ситуациях, делаем человека более компетентным. Конечно, для этого нужно резко расширить тематику задач, давать детям задачи, разнообразные по тематике, а не только «на скорость», «на работу», «на покупки».

Решение текстовых задач способствует, с одной стороны, закреплению на практике приобретённых умений и навыков, с другой стороны, развитию логического мышления учащихся.

Наблюдается активизация их мыслительной деятельности. При правильной организации работы у учащихся развивается активность, наблюдательность, находчивость, сообразительность, смекалка, развивается абстрактное мышление, умение применять теорию к решению конкретных задач.

Работа над ошибками – одна из основных
форм преодоления пробелов в знаниях и
умениях учащихся. Эта работа приносит
пользу только тогда, когда она находится
постоянно в центре внимания учителя.

Разбор ошибок полезен ещё потому, что,
ознакомившись с какой-нибудь ошибкой и
проанализировав её, ученик в какой-то
степени застраховывает себя от повторения
таких ошибок в будущем. Кроме того, работа
над ошибками может служить хорошим
средством для достижения точности
определений, точности формулировок теорем.
Разбирая ошибки, которые появляются в
процессе учёбы, ученики учатся шлифовать
каждое слово в своём ответе. А это имеет
немаловажное значение.

О значении своевременного реагирования
на ошибки известный чешский педагог Ян Амос
Коменский писал: “Любая ошибка
превращается из маленького “снежка” в
большой “снежный ком” неуспеваемости,
если на эту ошибку сразу же не реагировал
учитель при непременном привлечении самого
учащегося к её осознанию и последующему
труду, направленному на её полное
преодоление”.

На каждом уроке учитель сталкивается с
различными видами ошибок, с необходимостью
их исправления. Учитель поступает
правильно, если не торопится сам исправить
ошибку, а привлекает для этого учащихся.
Нужно дать понять ученику, к чему может
привести его ошибка.

Например: Учитель задаёт вопрос: “Почему
два данных треугольника равны?”. Ученик
отвечает: “Если сторона и два угла одного
треугольника равны стороне и двум углам
другого треугольника, то такие
треугольники равны”.

Чтобы отвечающий ученик и ученики,
которые не заметили ошибки, лучше осознали
неправильность формулировки, нужно
предложить им построить АВС
(где С
— тупой), а затем.
Треугольники АВС и
удовлетворяют формулировке, которую дал
ученик, но они не равны. После выяснения
ошибки ученик как правило даёт правильный
ответ. Конечно же, такое исправление ошибок
способствует повышению качества знаний
учащихся, активизирует их мышление и служит
целям развивающего обучения.

Целенаправленная работа над ошибками
требует их систематизации. При этом главную
роль должны сыграть группы ошибок, которые
объединены общими причинами их появления,
общей методикой работы над ними. Такая
систематизация ошибок позволяет наметить
пути их исправления и предупреждения этих
ошибок в дальнейшем.

Какие же наиболее характерные ошибки
допускают учащиеся при работе:

1. Ошибки и недочёты, которые обусловлены
невниманием к формированию теоретико-множественных
представлений учащихся:

• ошибки, связанные с недостаточно чётким
  владением понятиями множества, элемента
  множества, отношения принадлежности,
  равенства множеств;
• ошибки, которые возникают в результате
  недостаточно чёткого владения
  операциями пересечения и объединения
  множеств.

2. Ошибки, которые связаны с недостаточной
логической подготовкой учащихся:

• ошибки, связанные с непониманием
  структуры теоремы;
• ошибки, которые обусловлены
  непониманием зависимости между прямой и
  обратной теоремами;
• ошибки, связанные с непониманием метода
  доказательства от противного.

3. Ошибки, которые допускают учащиеся из-за
отсутствия и неустойчивости самоконтроля.

Рассмотренные ошибки и недочёты типичны
на всех ступенях обучения.

Для осуществления целенаправленных мер
по исправлению и предупреждению ошибок
учителю необходимо систематически изучать
ошибки учащихся, выявлять наиболее
устойчивые и типичные из них, вести учёт
распространённых и индивидуальных ошибок
учащихся. Знание учителем типичных
ученических ошибок, а также причин их
возникновения и форм проявления даёт ему
возможность предвидеть и предупреждать их
появление. Достичь этого можно путём
подбора таких упражнений, которые
препятствуют образованию односторонних
ассоциаций и неправильных обобщений.

Ошибки учащихся, которые регистрирует и
учитывает учитель, помогают ему установить,
что не понимают учащиеся, что ими плохо
усвоено; это даёт возможность учителю
своевременно ликвидировать пробелы в
знаниях учащихся и внести соответствующие
коррективы в дальнейшее преподавание с
целью предупреждения повторения
аналогичных ошибок.

Чтобы определить сущность допускаемых
учащимися ошибок, необходимо проследить
ход рассуждений, который приводит к такому
ошибочному решению, установить этап, на
котором зарождаются такие ошибки. Как
показывает опыт, часто учащемуся непонятен
не весь материал, а лишь какая-то его часть.
Выявив, что именно непонятно ученику, можно
сосредоточить на этом материале всё
внимание, не отвлекаясь на те моменты,
которые уже усвоены.

Допускаемые учеником ошибки
свидетельствуют не только о недостатках
его знаний, но и о потенциальных
возможностях. Ошибки служат также
показателем проблем, которые могут быть
поставлены перед учеником, а иногда они
приводят к созданию проблемных ситуаций,
которые необходимы в данный момент для
развития действий.

Ни в коем случае нельзя снижать оценок
ученикам за ошибки в процессе поиска. Очень
важно приучить их не бояться допускаемых
ошибок. Ошибки, допускаемые учениками, надо
исправлять тактично, обоснованно,
привлекая к этой работе самих учащихся.

Боязнь допустить ошибку сковывает
инициативу ученика. Боясь ошибиться, он не
будет сам решать поставленную проблему, а
станет ждать помощи от учителя. Он будет
решать только лёгкие проблемы. Но без
такого самостоятельного решения задач с
последовательно нарастающей сложностью не
может происходить интеллектуальное
развитие. Во многих случаях по этой причине
учащиеся проявляют робость и
интеллектуальную пассивность, что в
дальнейшем приводит к неуспеваемости.

Очень оживлённо воспринимаются учащимися
“Задачи на выявление ошибки”. Речь идёт не
только о софизмах, но и об ошибках, которые
допускают сами школьники. Не нужно
специально исправлять каждое ошибочное
утверждение школьника. Лучше поставить это
утверждение на обсуждение всего класса и
добиться осознанного исправления ошибки.
Если они и не допускают ошибок, то всё же
нередко целесообразно проверить, насколько
они “устойчивы” против типичных ошибок.

Например: Найти ошибки:

Процесс отыскания и исправления ошибок
самими учащимися под руководством учителя
можно сделать поучительным для учащихся, в
результате чего изучение и анализ ошибок
становится эффективным средством в
развитии познавательного интереса к
изучению математики.

Для исправления и предупреждения многих
ошибок важно сформировать у школьников
навыки самоконтроля. Эти навыки состоят из
двух частей: а) умения обнаружить ошибку; в)
умения её объяснить и исправить.

В процессе обучения применяются
несколько приёмов самоконтроля, которые
помогают обнаружить допущенные ошибки и
своевременно их исправить. К ним относятся:

• проверка вычисления и тождественного
  преобразования путём выполнения
  обратного действия или преобразования;
• проверка правильности решения задач
  путём составления и решения задач,
  обратных к данной;
• оценка результата решения задачи с
  точки зрения здравого смысла;
• проверка аналитического решения
  графическим .

Выработке навыков самоконтроля помогает
и приём приближённой оценки ожидаемого
результата. Установление возможных
пределов ожидаемого ответа предупреждает
недочёты типа описок, пропуска цифр.

Например, рассмотрим задачу: “За неделю
завод выпустил 130 холодильников, выполнив
месячный план на 25%. Сколько холодильников
должен выпустить завод за месяц по плану”.

Пусть решение ученика выглядит так: .
Ошибка становится очевидной, если перед
решением ученик прикинет в уме: “За неделю
завод выпустил 130 холодильников.
Следовательно, за месяц он выпустит больше.
Значит, ответ должен быть больше, чем 130”.
Такая прикидка в уме полезна при решении
задач с дробными числами и процентами.

В жизненной практике в чертежах, схемах,
расчётах, с которыми ребята будут
встречаться, могут быть и ошибки. Если не
научить их критически относиться к данным,
то могут быть и аварии, и брак, и серьёзные
упущения в работе. Чтобы этого избежать,
необходимо формировать у учащихся умение
анализировать данные, способность
обнаруживать встречающиеся ошибки и
обосновывать ошибочность положения.

Польский математик Г. Штейнгауз, отмечая
большое значение работы над
математическими ошибками для активизации
мыслительной деятельности учащихся, пишет:
“Если учащегося заверить, что в
предложенном ему доказательстве есть
ошибка, то можно быть уверенным даже без
специальной проверки, что материал будет
изучен полностью и очень тщательно”.
Поэтому составление списка математических
ошибок и использование его в учебных целях
является одним из важных факторов
повышения эффективности обучения.

Таким образом, важную роль в
предупреждении ошибок играет продуманная
организация изучения нового материала.
Изучение нового материала надо строить так,
чтобы ученик был активным участником этого
процесса. Не надо бояться, если при первом
изложении материала им будут допускаться
ошибки, высказываться необоснованные
выводы. Важно, чтобы те или иные ошибки в
понимании материала исправлялись в
зародыше, чтобы ученики воспринимали
материал осознанно.

Такому подходу к изучению нового
материала способствует создание
проблемной ситуации и решение её учащимися
под руководством учителя. На таких уроках
ученики проходят через следующие стадии:
поиск нового, возможное появление ошибок в
процессе поиска нового, обоснованное
опровержение этих ошибок, снова поиски, в
результате которых приходят к правильной
догадке, и, наконец, доказательство
составленного в поисках предложения. Всё
это способствует развитию математического
мышления.